高等数学课后答案 第八章 习题详细解答

高数答案

习 题 8-1

1.设有一个面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为 (x,y)的电荷,且 (x,y)在D上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.

解 用一组曲线将D分成n个小闭区域 i,其面积也记为 i(i 1,2, ,n).任取一点( i, i) i,则 i上分布的电量 Q ( i, i) i.通过求和、取极限,便得到该板上的全

部电荷为

Q lim ( i, i) i (x,y)d ,

0

i 1

D

n

其中 max{ i的直径}.

1 i n

2. 设I1 (x2 y2)3d 其中D1 {(x,y) 1 x 1, 2 y 2};又I2 (x2 y2)3d

D1

D2

其中D2 {(x,y)0 x 1,0 y 2}.试利用二重积分的几何意义说明I1与I2之间的关系.

解 由二重积分的几何意义知,I1表示底为D1、顶为曲面z (x2 y2)3的曲顶柱体 1的体积;I2表示底为D2、顶为曲面z (x2 y2)3的曲顶柱体 2的体积.由于位于D1上方的曲面z (x2 y2)3关于yOz面和zOx面均对称,故yOz面和zOx面将 1分成四个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为 2.由此可知I1 4I2.

3. 利用二重积分定义证明: (1) d

D

(其中 为D的面积);

(其中k为常数);

1

2

(2) (3)

kf(x,y)d k f(x,y)d

D

D

f(x,y)d f(x,y)d f(x,y)d ,其中D D D

D

D1

D2

,D1、D2为两个无公共

内点的闭区域.

证 (1) 由于被积函数f(x,y) 1,故由二重积分定义得

f( , ) d lim

D

0

i

i

i 1

n

n

i

lim i lim .

0

i 1

n

0

(2) kf(x,y)d lim kf( i, i) i klim f( i, i) i k f(x,y)d .

D

n

0

i 1

0

i 1

D

(3) 因为函数f(x,y)在闭区域D上可积,故不论把D怎样分割,积分和的极限总是不变的,因此在分割D时,可以使D1和D2的公共边界永远是一条分割线。这样f(x,y)在

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