一个与欧拉常数有关的积分

函数的间断点

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第 l卷第 2 8期 v【1 No 2。、 8 .

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个与欧拉常数有关的积分 张守田 (雄师瘀甄雨西孺坊 21 3昌专 6 4) 0

07 1/ OT Ie 2 ,

本文首先证明了“小数部分”函数, ()

- '∈ 0] L’ ’在区间[ o 【0. x= O

1上的可积性,]然

后又算得了.

)一1的结果,如一这里一o 571、 72…是欧拉常数。

关塑蝴

积 【 x=O 0,

^ I、戡勘幽敬

设 CR, -我们分别以【]{表示的整数部分与小数部分, r、}此时有{=z z。}一[]

下我将明I数分函 (÷’∈。][ 1的积并而 面们证 部”数, ), J、 ’‘在o]可性,进算 ’,上 出它的与欧拉常数有关的积分值。

1可积眭的证明 如下证明中,我们采用贯用的符号 g、 A△、(), I i p=ma{ J, x Ax等不再重新定义,于对 ,我们显然地有舢≤ 1,。

任小数∈。 )于在e]有且有限间点下了…所 给正 e({,,[1界只有个断;、、,以,由,上 11 g- ̄1上可积。 4,] zF所以对上述的 e存在<E使对[,],, E 1的任意分法 p, 只要 2p ),<<便有 n( P),,=舢△∞<E

于是我们对F,] o 1的任意分法 p只要 (),, p<便可导出: J,) e事实上: n( p<3。 f不妨设 E矾一,,∈[ .矾]并设分法 p落在[,上的分点形成对[,]£1 e1的分法 P, 由于仍有 2p ) (< ,

所以有 n( P ),, :“一E+ ( )△< E

从而有

n,p:△+∑岫 (,∑钟 m )△≤∑△+ (,≤2 E 3 n, ) E= E+ ‘ i l s 一】+ I l

所以,在[,] 01上可积。

发稿日期: 9 8 1 - 1 19— 2 6 4 6

一个与欧拉常数有关的积分

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