随机过程及应用习题课三

1. 设X(t) A Bcost, t ,其中A和B为相互独立均服从N(0,1)的随机变量.

(1)证明{X(t), t }为正态过程;

(2)求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.

2. 设{X(t),t ( , )}是均值函数为0,自相关函数RX(s,t) s t s t /2 的正态过程,证明Y1(t) X(t),t 0,Y2(t) X( t),t 0是相互独立的正态过程。

3. 设{W(t)}0是参数为 的维纳过程,试证明

2

1

tW()

W (t) t

0

是参数为 的维纳过程。

2

t 0t 0

4. 设{W(t),t 0}是参数为 2的维纳过程,证明W1(t) c W(

过程。

t2

)t 0是参数为 的维纳2c

2

5. 设{W(t),t 0}是参数为 2的维纳过程,证明W2(t) W(t)是参数为 的维纳过程。 6. 设{W(t),t 0}是参数为 2的维纳过程,证明W3(t) W(t a) W(a)

为 的维纳过程

7. 设{W(t),t 0}是参数为 2的维纳过程,令

2

a 0,t 0是参数

21

tW(3)t 0

W (t) t

t 0 0

(1) W t ,t 0 是否为正态过程; (2) W t ,t 0 是否为维纳过程。

8. 设{X(t),t 0}是具有零均值和协方差C(s,t)的正态过程,则对于任意的非负数s,t和 ,

证明:

(1)E[X2(t)] C(t,t) D(t); (2)D[X2(t)] 2C2(t,t) 2D2(t);

1

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