一类二阶奇异摄动边值问题的数值解法

研究一类奇异摄动边值问题的数值解,构建了基于级数展开的多步法,其最高精度可达O(h6),较以往的样条、差分等方法求解该问题,有较低的误差,数值结果显示了该方法的优越性。

第3 1卷 第 1 期 1

20 0 8年 1 1月

合肥 工业 大 学 学报 ( 自然科 学版)

J OURNAL OF HEF EIUNI VERSTY I OF TECHNOL OGY

Vo. 1No 1 I3 . 1

No . 2 O v 08

类 二 阶奇 异摄 动 边值 问题 的数 值 解法

王鹏岭 , 郭清伟

( 肥工业大学 数学系, 合 安徽 合肥 200) 3 0 9

要: 研究一类奇异摄动边值问题 的数值解 , 构建 了基于级数展 开的多步法 , 其最高精度 可达 O h ), ( 较以

往的样条、 差分等方法求解该问题 , 有较低 的误差 , 数值结果显示了该方法 的优越性 。

关 键 词 : 值 问 题 ;奇异 摄 动 ;多步 法 ; 差 边 误 中图 分 类 号 : 2 1 8 O 4 .1 文献标识码 : A 文 章 编 号 :0 356 ( 0 81 —8 20 10 00 2 0 ) 11 8 4

Nu e i a o u i n o e o d o d r sng l r p r u b d m r c ls l to f s c n r e i u a - e t r e b u d r — a u r blm s o n a y v le p o e

W ANG n —ig GU0 n — i Pe g l , n Qigwe

( p . fMa h m ais De to t e tc ,Hee iest fTe h oo y,Hee 3 0 9,Chn ) fiUnv riy o c n lg fi2 0 0 ia

Ab ta t Th a e t d e h u e ia o u i n o i g l rp r u b d b u d r r b e s sr c . e p p r s u i st en m rc l l to fsn u a — e t r e o n a y p o lm .By u i g s sn Ta l r s re x a so t em u ts e t o b an d Is p e i in i u o sx I l o h sl s r y o e is e p n i n,h lit p me h d i o t i e . t r cso s p t i. tas a s e — s e

r r h n o h rs l ea d dfee c t o s o st a t e p i n i r n emeh d .Th u e ia e u t r v si d a t g s n f en m r l s l p o e t a v n a e . c r s Ke o d : o n a yv l ep o lm ;sn ua et r a in;m utse eh d

ro yw r s b u d r- au r b e ig lrp ru b t o l tp m t o ;er r i

0 引

其推 导过程 , 计算 复杂 , 在最 后都用 到泰勒级数 法

来分 析 其 局 部 截 断 误差 。本 文基 于级 数 展 开 方 法 [ 构造 了多步差分 法来解决 问题 ( ) 直接用 泰 7 ] 1,

考虑 下面 的二 阶奇异 摄动边 值问题 :

=~ £ p x y 一 厂 z = y+ () = () ( ) P> 0 0< < 1 z ≥ ,

( )一 a , 0 o ( )一 口 1 1

勒级 数 法构 造解 法 , 提高 了精 度 , 降低 误差 , 推 且

() 1

() 2

导计 算简 洁 。 对 问题 ( )取 ( ) 2, z 一P( 常数 ) O ≤ 1 及 de 。

其 中,oa 是 给定 的常 数 ; 是 任 给小 的正参 数 ; O, L £ 系数 ( ) z 及 ( ) z 是足够 光滑 的函数 。

奇异 摄动 问题特 点 是 : 方程 最高 阶 的微分 项 乘 以一个 小 的正 参 数 £ 其有 广 泛 的 实 际应 用 背 ,

Az 和 Khn 五次 样条 、 sad 等用 六 次 i z aE用 ] Arhn E ]

样条 解决 如上 问题 。

1 基 于 级 数展 开 的多 步差 分 法

首先 , 定边值 问题定 义 在 [ ,] , 区间 假 口 6上 把 [ ,] 成 N 个小 区间 , 丑 6分 网格点 为 ,, 中,一0 2其 7 i , l … , 且 z —n z —b 小 区 间长 h ( 一口 / , N, o , N , 一 6 )

N。i ( ) E 1 中的 f x ) , z ) ( =fP( 一户 对于 一般 的 d阶方程 , 记 =户Y 一 ,(—O 1 … , , = = , , N 一 1 2 …) 为 了解决 问 题 ( ) 建 立 如下 k步 ( +1 ,, , 1, 忌

景 , 流体 力 学 、 在 流体 动 力 学 、 性 力 学 、 子 力 弹 量

学、 最优控 制及化学 反应 中都 有应用 , 可参 看文献

[ ,] 12 。对于这类 问题 的解 析和数值 解法 , 很多人 用了不 同的方法 作 了研究 , 归纳 起来 主 要 有 3种

方 法 : 有 限差分 法 ; 有 限元法 ; 样条 函数 ① ② ③

逼 近法 。许 多文献 如 [ ~6 用 指数 样 条 , 3 ] 多项 式 ( 非多项式 ) 样条解 决此类 问题 , 我们 知道 , 条 函 样 数解 决此类 问题 的优 点 , 仅 给 出连续 的逼 近解 不

( , ) 而且 给 出 Y, ” 结 点 处 的逼 近 值 。不 过 Y 在

点) 级数展 开的差分 法 :

k

∑ 竹 —h∑ J

( 3 )

收 稿 日期 :0 71—0 修 改 日期 :0 80一4 2 0—

13 ; 20 —3O 基金项 目: 安徽省 自然科学基金资助项 目(7 4 6 2 ) 0 0 1 2 7 作 者简 介 : 岭 (9 O )男 , 西 忻 州人 , 肥 工业 大 学 硕 士 生 王鹏 18 一 , 山 合

一类二阶奇异摄动边值问题的数值解法

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