2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(二)(含解析)
2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(二)(含解析)
第十三节
导数的应用(二)
典题导入
[例1] 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.
(1)当a＝－1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若当x≥1时，f(x)≥0成立，求a的取值范围． [自主解答] (1)当a＝－1时，f(x)＝x2ln x＋x2－1， f′(x)＝2xln x＋3x.
则曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝3，又f(1)＝0，所以切线方程为3x－y－3＝0.
(2)f′(x)＝2xln x＋(1－2a)x＝x(2ln x＋1－2a)，其中x≥1.
1
当a≤因为x≥1，所以f′(x)≥0，所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(1)
2＝0.
11当af′(x)＝0，得x＝ea－.
22
11
若x∈[1，ea－)，则f′(x)<0，所以函数f(x)在[1，ea－)上单调递减．所以当x∈[1，
221
ea－)时，f(x)≤f
(1)＝0，不符合题意．
2
1－∞，. 综上a的取值范围是 2
由题悟法
利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：
(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．
(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′
(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的问题． (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．
以题试法
