数学分析下——二元函数的极限课后习题

数学分析下——二元函数的极限课后习题

第二节 二元函数的极限

1、试求下列极限(包括非正常极限):

x2y21+x2+y2

(1)lim; (2)lim; (x,y)®(0,0)x+y(x,y)®(0,0)x+y

x2+y2xy+1

(3)lim ; (4)lim; (x,y)®(0,0)(x,y)®(0,0)x+y1+x+y -1

11

(5)lim; (6)lim(x+y)sin ;

(x,y)®(1,2)2x-y(x,y)®(0,0)x+y

sin(x2+y2)22

(7)limx+y.

(x,y)®(0,0)x+y2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限:

y211

(1)f(x,y)= ; (2)f(x,y)=(x+y)sin sin;

x+yxyx2y2x3+y3

(3)f(x,y)= ; (4)f(x,y)= ;

xy+(x-y)x+y

1x2y2

(5)f(x,y)=ysin ; (6)f(x,y)=;

xx+yex-ey

(7)f(x,y)= .

sinxy3、证明:若1

(x,y)®(a,b)

limf(x,y)存在且等于A;2y在b的某邻域内,有limf(x,y)=j(y)

x®a

则 limlimf(x,y)=A.

y®bx®a

4、试应用ε—δ定义证明

x2y

lim=0. (x,y)®(0,0)x+y

5、叙述并证明:二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.

6、试写出下列类型极限的精确定义: (1)

(x,y)?(?, )

limf(x,y)=A; (2)

(x,y)?(0, )

limf(x,y)=A.

7、试求下列极限:

x2+y2

limlim(1); (2)(x,y)?(?, )x+y(x,y)?(?,(3)

lim

)

(x2+y2)e-(x+y);

x2

x+y

(x,y)?(?, )

(1+

1xsiny ); (4)lim

(x,y)?( xy

骣1

琪1+,0)琪x桫

.

8、试作一函数f(x,y)使当x®+¥,y®+¥时,

(1)两个累次极限存在而重极限不存在;

(2)两个累次极限不存在而重极限存在; (3)重极限与累次极限都不存在;

(4)重极限与一个累次极限存在,另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3.

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