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寻找变系数非线性方程精确解的新方法

第49卷第2期2000年2月1000-3290/2000/49(02)/0177-04

物 理 学 报

ACTAPHYSICASINICA

Vol.49,No.2,February,2000

n2000Chin.Phys.Soc.

寻找变系数非线性方程精确解的新方法

阮航宇

1)2)

X

1)2)

陈一新

2)

(宁波大学物理系,宁波 315211)

(1999年9月26日收到)

(浙江大学近代物理中心,杭州 310027)

将非线性方程的变系数看作与实际物理场具有相等地位的新变量,利用普遍的经典李群方法可以求解某些特殊类型的变系数方程,其解由相应的常系数方程的解表示.以非线性薛定谔方程为具体例子,介绍了这种方法.并给出了特例色散缓变光纤变系数非线性薛定谔方程的精确解.

PACC:0220;0230

式中B(z)和C(z)分别是纵向距离缓变的二阶色散

1 引言

和非线性系数.(1)式经过适当的变换,最后求解的方程实际是

2i+(x)|u|2u=0.2+A9t

非线性问题的求解是非线性科学中一项重要的

工作.众所周知非线性偏微分方程存在无限多解,而大部分能够较好描述实际物理问题的非线性方程又是变系数方程,所以要得到实际非线性方程的精确解是非常困难的工作.虽然有不少求解非线性偏微分方程的方法,但对于变系数非线性偏微分方程,目前的研究手段只是停留在数值求解或近似求解.

最近,采用推广的对称群方法研究非线性方程对称性的研究报道令人很感兴趣[1)5].在这种方法中,势函数被作为新的独立变量,由此可得到保持原方程不变的新的推广对称群.这些工作给了我们寻找变系数非线性偏微方程精确解的很好的启示.如果我们把方程中的变系数取为与实际物理场有相等地位的变量,就可得到原方程推广的对称群和有限变换.利用这个推广的对称群,我们可以在某些不同变系数方程的解之间建立一种关系.尤其是在假定原方程是常系数方程时,某些特殊类型的变系数方程的解可由相应的常系数方程的解得到.

变系数薛定谔方程在众多物理领域,如等离子体物理、流体动力学、非线性光学、固体物理,尤其是纤维光学中有着极其重要的地位.在实际光纤通讯中传播信息的孤子一般满足变系数非线性薛定谔方程[10,11]

2

+Ci+(z)|u|2u=0,(1)229t

X

(2)

因此我们只需研究方程(2)的这种形式.方程(2)是

变系数方程,以往的工作都是用数值分析或近似微扰方法进行研究.本文在用推广的对称群方法研究一般的变系数非线性薛定谔方程的基础上,给出其系数为某个距离缓变函数时的精确解.

本文给出薛定谔方程推广的对称群和相应的有限变换,建立某些不同变系数方程和相应的解之间的关系,给出色散缓变非线性薛定谔方程的精确解,并进行了讨论.

2 薛定谔方程的推广对称群

非线性薛定谔方程(2)可以写为更普遍形式iux+utt+W(x,t,|u|)u=0.(3)假设W(x,t,|u|)是一个与u具有相等地位的新变量.这意味着方程(3)即使在势函数W与u无关时,仍是非线性方程.我们寻求方程(3)在经典一阶

微分算子

K=N(x,t,u,u*)5x+S(x,t,u,u*)5t

+G(x,t,u,u*)5u+G*(x,t,u,u*)5u*+Q(x,t,u,u*,W)5W

(4)

作用下不变的对称操作.利用方程(3)在算子(4)作

[6)9]

(:.

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