幂级数求和函数的类型与解法

幂级数求和函数的类型与解法

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摘要:幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验,对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。关键词:幂级数;和函数;几何级数中图分类号:O1-0文献标识码:A幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,对于学生来说是一个难点,因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研究探讨。求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常用级数,特别是几何级数(又叫等比级数)

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,

的和函

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其中

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为的多

项式

(一)解法:1、用先逐项积分,再逐项求导的方法求其和函

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。积分总是从收敛中心(

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的和函

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文章编号:1009-0118(2010)-09-0137-02

因②、③可直接利用①的结论求得,下面仅给出①、④的求解过程。

解①(法一)收敛域为(-1,1),对级数逐项积分再逐项求

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导:

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(-1<<1)。

(法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之:

(-1<<1)

④(法一)收敛域为(-1,1),在收敛域内对级数先逐项积分两次,再逐项求导两次求

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之:

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则(-1<<1)所

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(-1<<1)

(法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导数而求之:

(-1<<1)

(三)结论:(-1<<1)(1

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)(-1<<1)

(2

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)(-1<<1)(3

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)(-1<<1)

(4)

例2

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