2019年考研数学模拟考试考题(含答案解析)

2019

2019最新考研数学模拟试题(含答案)

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2019年考研数学模拟考试考题(含答案解析)

一、解答题

1.证明下列等式:

232

001(1)()d ()d 2a

a x f x x xf x x =?? (a 为正常数); 证明:左222222000

111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====??? 令右 所以,等式成立.

(2)若()[,]f x C a b ∈,则

ππ2200(sin )d (cos )d f x x f x x =??. 证明:左πππ022

002(cos )(d )(cos )d (cos )d x t f t t f t t f x x =--==???令.

所以,等式成立.

2.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数,它们在一个周期内的表达式分别为:

(1) f (x )=1-x 2 112

2x ??-≤< ???; (2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<?=?≤<?

解:(1) f (x )在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x ),由于f (x )为偶函数,有b n =0 (n =1,2,3,…) ()()1

12221002

112d 41d 6a f x x x x -==-=??, ()()()()

1

12221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x x n n -+==--=

=?

? 所以 ()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)

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