纯循环小数的一个猜想的推广
文[1]证明了文[2]中关于纯循环小数的一个猜想是正确的,笔者最近又发现了该猜想还可推广.……
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中学数学
$&&P年第N期
纯循环小数的一个猜想的推广
##$%&&湖北省竹溪县一中
甘志国
文’()证明了文’$)中关于纯循环小数的一个猜想是正确的*笔者最近又发现了该猜想还可推广+
2
设-可证满足B.*(&/0(*.1%*(&C.:3
26
的:;(*:3D(&*:345E3存在且唯一2
存在性=因为(有正整数解-&:<.:30(定理,若-.*(&/0(*.1%*
则(.
可化为纯循环小数*且其循环节长度可为任意正整数2的倍数32-3*2456
/*
即可设(.
0&+78(7$97832-又记7(7$97320:(*:$*9*:3*
其中:(07(7$972*:$072;(72;$97$2*9*:307-3<(/2;(7-3<(/2;$9732/*
还有以下结论成立=-(/.:3的末2位数均是>*
即可设.:2
6
3;(0(&?-?45/@-$/:(*:$*9*:3A?0:3*:(*:$*9*:3<(
-?同-(/*30(时?0(/*也可把此结论改述为-以下.(*.$*9*.3<(45
/=?A:%3
0(&.(;:3<(
*?A:23<(;.(0(&.$;:3<$*?A:2
3<$;.$0(&.%;:3<%
*99
?A:2$;.3<$0(&.3<(;:(*?A:(;.3<(0:3+证明-(/由纯循环小数化成分数的方
法*得
(.0:(*:$*9*:3
(&32<(
*.:(*:$*9*:30(&32
<(*所以结论-(/成立+
-$/由-(/得
:32
(&2
?<(0.:3-(&<(/30::*
(*$*9*:3
(&2?:(*:$*9*:2
3<-(&:(*:$*9*:3<(;:3/0:32
3A(&<:3*
:(*:$*9*:3A?0:3*:(*:$*9*:3<(
+-:*:3/*从而也有:3D(&2
的正整数解@唯一性=假设(&2C.:2
3;(*(&C.:3
F;(*:3*:F3456
*:&2
F2
得2
3D(*:3CD(&*(&C:3<:F3
*又有<(&2D:3<:F3D(&2
*必有:30:F3
/*所以由定理(可得口算化单位分数为纯循环小数的
方法-即猜想’$)
的方法*也可见后面的举例/+
推论,若-.*(&/0(*.1%*(.
&+78(7$978G
*则-(/.7G的末位数字是>-所以7G0(
*%*H*或>/*即可设.76
G;(0(&?-?45/@
-$/7(7$97GA?07G7(7$97G<(-?同-(//*也可把此结论改述为-以下.(*.$*9*.G<(45/=
?7G
0(&.(;7G<(J
?7G<(;.(0(&.$;7G<$?7G<$;.$0(&.%;7G<%
I
L
99?7$;.G<$0(&.G<(;7(?7(;.G<(07G
K
-%/G的最小值即(
.
的循环节的最少位数
也即满足.C(&M<(的最小正整数M-M叫(&
对模.的方次数’%)
/*
就是满足L的最小G值+推论(的-(/-$/即猜想’$)
*-%/也给出了
求(&对模.的
次的一种新
法+
例,用推论(的
法把(NH
化成小
+
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