纯循环小数的一个猜想的推广

文[1]证明了文[2]中关于纯循环小数的一个猜想是正确的,笔者最近又发现了该猜想还可推广.……

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中学数学

$&&P年第N期

纯循环小数的一个猜想的推广

##$%&&湖北省竹溪县一中

甘志国

文’()证明了文’$)中关于纯循环小数的一个猜想是正确的*笔者最近又发现了该猜想还可推广+

2

设-可证满足B.*(&/0(*.1%*(&C.:3

26

的:;(*:3D(&*:345E3存在且唯一2

存在性=因为(有正整数解-&:<.:30(定理,若-.*(&/0(*.1%*

则(.

可化为纯循环小数*且其循环节长度可为任意正整数2的倍数32-3*2456

/*

即可设(.

0&+78(7$97832-又记7(7$97320:(*:$*9*:3*

其中:(07(7$972*:$072;(72;$97$2*9*:307-3<(/2;(7-3<(/2;$9732/*

还有以下结论成立=-(/.:3的末2位数均是>*

即可设.:2

6

3;(0(&?-?45/@-$/:(*:$*9*:3A?0:3*:(*:$*9*:3<(

-?同-(/*30(时?0(/*也可把此结论改述为-以下.(*.$*9*.3<(45

/=?A:%3

0(&.(;:3<(

*?A:23<(;.(0(&.$;:3<$*?A:2

3<$;.$0(&.%;:3<%

*99

?A:2$;.3<$0(&.3<(;:(*?A:(;.3<(0:3+证明-(/由纯循环小数化成分数的方

法*得

(.0:(*:$*9*:3

(&32<(

*.:(*:$*9*:30(&32

<(*所以结论-(/成立+

-$/由-(/得

:32

(&2

?<(0.:3-(&<(/30::*

(*$*9*:3

(&2?:(*:$*9*:2

3<-(&:(*:$*9*:3<(;:3/0:32

3A(&<:3*

:(*:$*9*:3A?0:3*:(*:$*9*:3<(

+-:*:3/*从而也有:3D(&2

的正整数解@唯一性=假设(&2C.:2

3;(*(&C.:3

F;(*:3*:F3456

*:&2

F2

得2

3D(*:3CD(&*(&C:3<:F3

*又有<(&2D:3<:F3D(&2

*必有:30:F3

/*所以由定理(可得口算化单位分数为纯循环小数的

方法-即猜想’$)

的方法*也可见后面的举例/+

推论,若-.*(&/0(*.1%*(.

&+78(7$978G

*则-(/.7G的末位数字是>-所以7G0(

*%*H*或>/*即可设.76

G;(0(&?-?45/@

-$/7(7$97GA?07G7(7$97G<(-?同-(//*也可把此结论改述为-以下.(*.$*9*.G<(45/=

?7G

0(&.(;7G<(J

?7G<(;.(0(&.$;7G<$?7G<$;.$0(&.%;7G<%

I

L

99?7$;.G<$0(&.G<(;7(?7(;.G<(07G

K

-%/G的最小值即(

.

的循环节的最少位数

也即满足.C(&M<(的最小正整数M-M叫(&

对模.的方次数’%)

/*

就是满足L的最小G值+推论(的-(/-$/即猜想’$)

*-%/也给出了

求(&对模.的

次的一种新

法+

例,用推论(的

法把(NH

化成小

+

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