组合数学第四版卢开澄标准答案-第三章

官方标准答案

第三章

3.12.一年级有100名学生参加中文,英语和数学的考试,其中92人通过中文考试,75人通

过英语考试,65人通过数学考试;其中65人通过中,英文考试,54人通过中文和数学考试,45人通过英语和数学考试,试求通过3门学科考试的学生数。 [解].令:A1={通过中文考试的学生} A2={通过英语考试的学生} A3={通过数学考试的学生}

于是 |Z| =100,|A1|=92,|A2|=75,|A3|=65

|A1∩A2|=65,|A1∩A3|=54,|A2∩A3|=45

此题没有给出:

有多少人通过三门中至少一门; 有多少人一门都没通过。

但是由 max{ |A1|,|A2|,|A3| }=max{92,75,65}=92

故可以认为:

至少有92人通过三门中至少一门考试,即100≥|A1∪A2∪A3|≥92

至多有8人没通过一门考试,即0≤|A1∩A2∩A3| ≤8 于是,根据容斥原理,有

|A1∪A2∪A3|=(|A1|+|A2|+|A3|)-(|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|)+|A1∩A2∩A3| 即 |A1∩A2∩A3|=|A1∪A2∪A3|-(|A1|+|A2|+|A3|)+(|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|)

=|A1∪A2∪A3|-(92+75+65)+(65+54+45) =|A1∪A2∪A3|-232+164 =|A1∪A2∪A3|-68

从而由 92-68≤|A1∪A2∪A3|-68≤100-68 即 24≤|A1∪A2∪A3|-68≤32 可得 24≤|A1∩A2∩A3| ≤32

故此,通过3门学科考试的学生数在24到32人之间。

也可用容斥原理,即

|A1∩A2∩A3|=|Z|-(|A1|+|A2|+|A3|)+(|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|)-|A1∩A2∩A3|

=100-(92+75+65)+(65+54+45)-|A1∩A2∩A3| =100-232+164-|A1∩A2∩A3|

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