二次函数根的判别式、韦达定理

二次函数 难题

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义:

b2b2 4ac

运用配方法解一元二次方程过程中得到 (x ) ,显然只有当b2 4ac 0时,才能直接开

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2

2a4a

b 平方得:x 2a也就是说,一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)只有当系数a、b、c满足条件 b2 4ac 0时才有实

数根.这里b2 4ac叫做一元二次方程根的判别式.

2.判别式与根的关系:

在实数范围内,一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根由其系数a、b、c确定,它的根的情况(是否有实数根)由 b2 4ac确定.

判别式:设一元二次方程为ax2 bx c 0(a 0),其根的判别式为: b2 4ac则

① 0 方程ax bx c 0(a

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0)有两个不相等的实数根x1,2.

b

② 0 方程ax2 bx c 0(a 0)有两个相等的实数根x1 x2 .

2a

③ 0 方程ax2 bx c 0(a 0)没有实数根.

若a,b,c为有理数,且 为完全平方式,则方程的解为有理根;

2

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为完全平方式,同时 b2a的整数倍,则方程的根为整数根.

说明: (1)用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用,当方程

有两个不相等的实数根时, 0;有两个相等的实数根时, 0;没有实数根时, 0.

(2)在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式 b2 4ac判定方程的根的情况

(有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根).当 b2 4ac 0时,方程有两个相等的实数根(二重根),不能说方程只有一个根. ① 当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点; ② 当a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.

3.一元二次方程的根的判别式的应用:

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用: (1)运用判别式,判定方程实数根的个数;

(2)利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围; (3)通过判别式,证明与方程相关的代数问题;

(4)借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题.

二、韦达定理

x2,那么,就有 如果一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1,

ax2 bx c a x x1 x x2

比较等式两边对应项的系数,得

b

x x ①,2 1a

c x x ② 12

a

①式与②式也可以运用求根公式得到.人们把公式①与②称之为韦达定理,即根与系数的关系.

2

因此,给定一元二次方程ax bx c 0就一定有①与②式成立.反过来,如果有两数x1,x2满足①与②,x2必是一个一元二次方程ax2 bx c 0的根.利用这一基本知识常可以简捷地处理问那么这两数x1,题.

利用根与系数的关系,我们可以不求方程ax2 bx c 0的根,而知其根的正、负性. 在 b2 4ac≥0的条件下,我们有如下结论:

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