2018届湘教版九年级数学下册教案:2.5.2 第2课时 切线的性质

第2课时 切线的性质

1.理解和掌握圆的切线的性质;(重点) 2.能运用圆的切线的性质进行相关的计算和证明.(难点)

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一、情境导入

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约在6000年前,美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘,你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗?

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二、合作探究

探究点一:圆的切线的性质

如图,P A 为⊙O 的切线,A 为切

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点.直线PO 与⊙O 交于B 、C 两点,∠P =30°,连接AO 、AB 、AC

.

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(1)求证:△ACB ≌△APO ;

(2)若AP =3,求⊙O 的半径.

(1)证明:∵P A 为⊙O 的切线,A 为切点,∴∠OAP =90°.又∵∠P =30°,∴∠AOB =60°,又OA =OB ,∴△AOB 为等边三角形.∴AB =AO ,∠ABO =60°.又∵BC 为⊙O 的直径,∴∠BAC =90°.在△ACB 和△APO 中,∠BAC =∠OAP ,AB =AO ,∠ABO =∠AOB ,∴△ACB ≌△APO ;

(2)解:在Rt △AOP 中,∠P =30°,A P =3,∴AO =1,即⊙O 的半径为1.

方法总结:已知圆的切线,利用圆的切线性质解题时,一般先要作出过切点的半

径,再分析题中的关系,合理解答问题.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

探究点二:圆的切线的性质与判定的综合运用

如图,AB 是⊙O 的直径,点F 、C 是⊙O 上的两点,且AF ︵=FC ︵=CB ︵

,连接

AC 、AF ,过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于点D

.

(1)求证:CD 是⊙O 的切线;

(2)若CD =23,求⊙O 的半径.

解析:(1)连接OC ,由弧相等得到相等的圆周角,根据等角的余角相等推得∠ACD =∠B ,再根据等量代换得到∠ACO +∠ACD =90°,从而证明CD 是⊙O 的切线;(2)由AF ︵=FC ︵=CB ︵

推得∠DAC =∠BA C =30°,再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB 的长,进而求得⊙O 的半径.

(1)证明:连接OC ,BC .∵FC ︵=CB ︵

,∴

∠DAC =∠BAC .∵CD ⊥AF ,∴∠ADC =90°.∵AB 是直径,∴∠ACB =90°.∴∠ACD =∠B .∵BO =OC ,∴∠OCB =∠OBC .∵∠ACO +∠OCB =90°,∠OCB =∠OBC ,∠AC D =∠ABC ,∴∠ACO +∠ACD =90°,即OC ⊥CD .又∵OC 是⊙O 的半径,∴CD 是⊙O 的切线;

(2)解:∵AF ︵=FC ︵=CB ︵

,∴∠DAC =∠BAC =30°.∵CD ⊥AF ,CD =23,∴AC =4 3.在Rt △ABC 中,∠BAC =30°,AC =43,∴BC =4,AB =8,∴⊙O 的半径为4.

变式训练:见《学练优》本课时练习“课

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