2012年华约自主招生试题及其解答答案

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2012年华约自主招生数学试题及其解答

解答:文武光华数学工作室 田开斌

1、若ω∈C,

的实数部为0,求复数

解答:令 =yi,则 = 1+ = + i。所以复数 轨迹为直线x= 。

·BP =2 PH , 2、点P在y轴上的投影为H,若A 2,0 、B 2,0 , AP

(1)求点P的轨迹;(2)过B的直线在x轴下方交P点轨迹于C、D两点,求CD中点与Q 0, 2 连成直线的斜率的取值范围。

·BP = x+2,y · x 2,y =x 4+y ,解答:(1)设P x,y ,则: AP

=2x 。根据条件知:x 4+y =2x ,于是P点轨迹为双曲线: =1。 2PH

(2)设过点B的直线为l:ky x+2=0。由于直线l与 交点,即方程

( )

=1在x轴下方有两个

=1有两个不同负实根。整理即知:(k 1)y +4ky+8=0有两

个不同负实根,分别为y=y 、y=y 。于是:

k 1≠0

△=(4k) 4×(k 1)×8>0

1<k<√

y+y=<0

y·y=>0

设CD中点为E,根据韦达定理知:y =

=

点E , 。即知直线EQ的斜率k =

( )

,从而x =ky +2=

= k +k+1= k +

,于是

于1<k<√k 的取值范围为 √ 1,1 。

3、已知锐角△ABC,BE⊥AC于E,CD⊥AB于D,BC=25,CE=7,BD=15,BE CD=H,连接DE,以DE为直径画圆,该圆与AC交于另一点F,求AF的长。

解答:如图,根据勾股定理知CD=√BC BD=20,BE=√BC CE=24。显然B、C、E、D四点共圆,根据托勒密定理知:BC·DE+BD·CE=BE·CD DE=15。于是知DE=DB,所以CD平分∠BCE,即知CA=CB=25。于是AE=AC CE=25 7=18。易知△ADE∽△ACB,所以DA=DE。而DF⊥AE于F,所以AF=

=9。

4、系统内有2k 1个元件,每个元件正常工作的概率为p,若有超过一半的元件正常工作,则系统正常工作,求系统正常工作的概率P ,并讨论P 的单调性。

解答:当有2k 1个元件时,恰有i个元件正常工作的概率为C p (1 p) ,所

以系统正常工作的概率:P =∑ 。 C p(1 p)

下面我们考察P 与P 的关系。

当有2k+1个元件时,设这2k+1个元件分别为A 、A 、A 、……、A 、A 、A 。下面我们分别讨论:

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