矩阵复习

II.不满足消去律:

(1)当AB=O时,不能推出A=O或B=O.(2)当AB=AC,且A=O时,不能得到B=C.

注意,当A可逆时,消去律是成立的,即当AB=O时,且|A|=O时,有B=O;当AB=AC,且|A|=O时,有B=C.

问:由A2=O,能否得到A=O?由A2=E,能否得到A=±E?

√ b±22

由aA+bA+cE=O且b 4ac 0,能否得到A=E?

2a

上述都是不成立的,根源仍然是因为矩阵乘法不满足消去律.

矩阵运算不满足交换律,不满足消去律,还有一些过去熟知的公式在矩阵理论里并不成立.前述是线性代数初学者最容易犯的几个错误之一,为数不少的人会一直犯这个错误.

我们要注意,虽然矩阵也有所谓的“加法”、“乘法”,但是这和我们熟知的实数加法、乘法是完全不同的.运算的对象不同,运算的内容不同,当然,运算的规律也不同.这是两个不同的讨论范围里的不同运算,相同的只不过是沿用了以前的称谓或记号而已,我们不要被这一点“相同”而忘记二者本质的不同.

(二)伴随矩阵.

1)AA =A A=|A|E.这个公式要牢记!其重大意义是由此引入了逆矩阵的讨论.注意这里的A不一定是可逆的.

1

2)若A=0,则A 1=A.它在理论上给出了求逆矩阵的方法,但是并不实用,在第

|A|

三章将给出一个简单实用的方法(见教材P.61例1,及P.64的说明).

(三)逆矩阵

1)矩阵定义中的条件“AB=BA=E”是可以弱化的:设A,B为方阵,若AB=E,则A,B可逆,且互为逆矩阵.更一般地,对方阵而言,若A1A2···Ak=λE且λ=0,则矩阵A1,A2,···,Ak都是可逆的.

2)逆矩阵在运算中实现了除法的功能.在矩阵中没有除法,或者说,我们通过引入逆矩阵,避免了对除法的讨论.

对于任意的n阶方阵A都有AE=EA=A.从乘法的角度来看,n阶单位矩阵E在矩阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数a=0的倒数可以用等式aa 1=1来刻划,相仿地,我们引入记号A 1表示A的逆矩阵,并且满足AA 1=E.记号A 1是特定的,它

1

不能写成.

A

3)矩阵可逆的几个等价说法:设A为n阶方阵,矩阵A可逆 |A|=0 A为非奇异矩阵.其他的等价说法,在以后会学习到:

矩阵A与单位矩阵等价;或说,A的标准形是单位阵;或说,A可以分解为一系列初等矩

阵的乘积.

矩阵A为满秩的;或说,R(A)=n; 矩阵A的行(列)向量组线性无关.(四)其他重要公式与结论. |λA|=λn|A|. (AB) 1=B 1A 1.

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