在柱坐标系和球坐标系下哈密顿算子的形式

在柱坐标系和球坐标系下哈密顿算子的形式  

1、柱面坐标系 

 

在笛卡尔坐标系中哈密顿算子可以表示为: 

F(x,y,z) F F F ex ey ez       (1‐1)  x y z

从图1中可以看出,在空间任意一点 , ,z 处r方 向单位矢量e      (1‐2) 

在直角坐标系坐标系中(也叫笛卡尔坐标系)有:

xex yey          (1‐3) 

在柱坐标系和球坐标系下哈密顿算子的形式

xe ye               (1‐4) 即:e 空间任意一点在球坐标系下和笛卡尔坐标系下的关系为:  图

在柱坐标系和球坐标系下哈密顿算子的形式

1 柱面坐标系 

x cos y sin    

在柱坐标系和球坐标系下哈密顿算子的形式

                (1‐5)  z z

我们可以得到: 

e cos ex sin ey           (1‐6) 

注意到e er,我们可以得到与er垂直的向量为: sin ex cos ey      (1‐7) 因为这个矢量为单位矢量,且指向 方向,其向量一定为e ,即: 

e sin ex cos ey               (1‐8) 

因为,ez e e ,我们得到:ez ez              (1‐9) 联立式(2‐6)、(2‐10)和(2‐11)我们可以得到:  ex cos e sin e e sin e cos e y                  (1‐10) 

ez ez

接下来我们将求在球坐标系下,空间某点F(x,y,z)分别对 r, , 求偏导数: 

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