矩阵_线性代数的重要工具

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 2005年9月       思茅师范高等专科学校学报         Sep.2005  第21卷 第3期     JournalofSimaoTeachers’College       Vol.21 No.3 

矩阵:线性代数的重要工具

邓 勇

(思茅师范高等专科学校数学系,云南思茅665000)

【摘 要】 行列式、线性方程组、二次型、线性变换、线性空间与欧氏空间等线性代数理论的研究无一

不以矩阵为重要的工具。矩阵可以使许多抽象的数学对象得到具体的表示,单运算,使代数学的研究在一定程度上化复杂为简单,变抽象为具体,变散乱为整齐有序不可或缺的处理工具,它在其它的数学理论,如组合数学、、【关键词】 矩阵;工具;抽象;具体;处理;研究

O151.2  A(2005)03-0055-02【中图分类号】、线性空间与欧氏空间等线性代数理论的研究都以矩阵为重要的工具,如行;线性方程组的消元解法可以用化它的增广矩阵为阶梯形来实现且更为方便;二次型的复杂形式可以处理成矩阵乘积的简单形式;线性空间中基到基的变换可用过渡矩阵来确定;有限维线性空间的一个线性变换可以在取定一组基后与某个方阵一一对应且线性变换运算可以转化为矩阵的对应的具体运算;以及欧氏空间内积可用度量矩阵确定等等。这些现象无一不在有力地证明一个事实:矩阵是线性代数研究中不可或缺的研究与处理工具。设想一下,离开这一工具,代数学中许多问题的研究与处理将会变得如何的复杂与抽象。可以说矩阵是线性代数研究中一把逢山开路的利器,它的作用主要有以下表现:

1 引入矩阵可以使复杂的代数方法得到简化

在二次型的理论中,把一个二次型化为标准形是核心问题,这一问题可用配方法解决,使用配方法可以把所有的二次型化为标准形,它是一个机械的方法,但此方法也存在缺陷,那就是它的配方过程大多时候显得过于复杂,而且替换矩阵的得出要作多次矩阵乘法,计算量大,如果对二次型的矩阵利用合同变换化为对角形,也可把二次型化为标准形,并且与配方法相比,则要简单得多。

例:化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3为标准形。方法一“:配方法”

解:作非退化线性替换

x1=y1+y2则f(x1,x2,x3)=2(y1+y2)(y1-y2)+2(y1+y2)y3-6(y1-y2)y3

2

x2=y1-y2       =2y21-2y2-4y1y3+8y2y3

x3=y3

2

      =2(y1-y3)2-2y23-2y2+8y2y3

z1=y1-y3y1=z1+z3

再令z2=y2

z3=y3

   即y2=z2

y3=z3

22

则 f(x1,x2,x3)=2z21-2z2+8z2z3-2z3

ω1=z1ω3=z3

z1=ω1z3=ω3

222

ω      =2z2最后令ω2=z2-2z3  即z2=ω1-2(z2-2z3)+8z3-2z3  2+2322

      =2z21-2(z2-2z3)+6z3

2

ωω2ω2则f(x1,x2,x3)=21-22+63为标准形,而上述过程中所作几次线性替换的结果相当于作一个总的线性替换:

【收稿日期】2005-05-12

    【作者简介】邓勇(1974-),男,云南墨江人,思茅师范高等专科学校数学系讲师。

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