初高中数学衔接知识点专题(三)

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★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系

【要点回顾】

1.一元二次方程的根的判断式

一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠,用配方法将其变形为: . 由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把2

4b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式,表示为:24b ac ?=-

对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有

[1]当Δ 0时,方程有两个不相等的实数根: ;

[2]当Δ 0时,方程有两个相等的实数根: ;

[3]当Δ 0时,方程没有实数根.

2.一元二次方程的根与系数的关系

定理:如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ,那么:

1212,x x x x +==

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是0?≥.

特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x 2+px +q =0,若x 1,x 2是其两根,由韦达定理可知

x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q ,即 p =-(x 1+x 2),q =x 1·x 2,

所以,方程x 2+px +q =0可化为 x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0,由于x 1,x 2是一元二次方程x 2+px +q =0的两根,所以,x 1,x 2也是一元二次方程x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.因此有

以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.

【例题选讲】

例1 已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的范围:

(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根

(3)方程有实数根; (4)方程无实数根.

例2 已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=,试求x 、y 的值.

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