数列---例题

例1、已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,其中ak1,ak2, ,akn 恰为等比数列,若

k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+ +kn。

解题思路分析:

从寻找新、旧数列的关系着手

设{an}首项为a1,公差为d

∵ a1,a5,a17成等比数列

∴ a5=a1a17

∴(a1+4d)=a1(a1+16d)

∴ a1=2d

设等比数列公比为q,则q

对akn项来说, 在等差数列中:akn a1 (kn 1)d kn 1a1 2a5an 4d 3 a1a122

在等比数列中:akn a1qn 1 a13n 1

∴ kn 2 3n 1 1

∴ k1 k2 kn (2 30 1) (2 31 1) (2 3n 1 1) 2(1 3 3n 1) n 3n n 1

注:本题把k1+k2+ +kn看成是数列{kn}的求和问题,着重分析{kn}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法,称为“通项分析法”。

例2、设数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{Sn}的前n项和,求Tn。 n

解题思路分析:

法一:利用基本元素分析法

7 6 S 7a d 71 72设{an}首项为a1,公差为d,则 15 14 S 15a d 75151 2

a 2∴ 1 d 1

∴ Sn 2

∴ n(n 1) 2Snn 1n5 2 n222

此式为n的一次函数

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