7.7.1容斥原理之重叠问题(一).学生版

学而思小学讲义:容斥原理

7.7.1容斥原理之重叠问题(一).学生版

容斥原理之重叠问题(一)

1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容; 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.

教学目标

知识要点

一、两量重叠问题

在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:A B A B A B(其中符号“ ”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“ ”读作“交”,相当于中文“且”的意思.)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理.图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B,即阴影面积.图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B,即阴影面积.

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1.先包含——A B

重叠部分A B计算了2次,多加了1次; 2.再排除——A B A B

把多加了1次的重叠部分A B减去.

包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A B的元素的个数,可分以下两步进行:

第一步:分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求A B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进

来,加在一起);

第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B(意思是“排除”了重复计算的元素个数).

二、三量重叠问题

A类、B类与C类元素个数的总和 A类元素的个数 B类元素个数 C类元素个数 既是A类又是B类的元素个数 既是B类又是C类的元素个数 既是A类又是C类的元素个数 同时是A类、B类、C类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C.图示如下:

图中小圆表示A的元素的个数,中圆表示B的元素的个数,大圆表示C的元素的个数.

1.先包含:A B C

重叠部分A B、B C、C A重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C

重叠部分A B C重叠了3次,但是在进行A B C A B B C A C计算时都被减掉了.

3.再包含:A B C A B B C A C A B C.

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