数学思想来武装,巧思妙解放光芒--

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高中数学竞赛系列讲座之二——一

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一道数学竞赛题的一题多解

一 、引子 北京市中学生数学竞赛有着悠久的历史。近十几年来,北京市中学生数学竞赛是在初二和高一两个年级进行。1990年起分为初试和复试,初试以普及为主,复试则适度提高。命题紧密结合中学数学教学实际,活而不难,趣而不怪,巧而不偏,力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一。数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学课外活动。通过有趣味、有新意、有水平的题目,开发智力,引导学生提高数学素质。数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式。北京市十几年的数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目,引导学生研究赏析它,是一件赏心阅目、幸福愉快的事情。下面,笔者尝试通过一道北京市高一年级数学竞赛的初试题的一题多解,与读者共同享受数学智慧的灿烂阳光。 二、题目

北京市1992年数学竞赛高中一年级初试“二、填空题”第4题如下: 4、若 sin2x+cosx+a=0 有实根,试确定实数a的取值范围是什么? 题目短小干炼,满分8分。 三、试解

方程中的求知数是x,出现了x的两种三角函数Sinx,Cosx.。而Sin2x=1-cos2x,好了,变一变,原方程就化成了

cos2x-cosx-1-a=0 ①

如果原方程中 x有实根,则cosx就会有对应的实数,令t= cosx,这样方程①就化成了

t2-t-1-a=0 ②

因此,方程②就应该有实数根,因此它的判别式△=(-1)2-4(-1-a)=4a+5≥0,所以 a≥-(5/4) 故实数a的取值范围是a≥-(5/4) 这个答案对吗?

当a≥-(5/4)时,一定有△≥0,方程②一定有实数根,问题是cosx=t有实根x就一定有实数根吗?注意到余弦函数的值域是cosx∈[-1,1],故②有实根并不能保证cosx=t一定在[-1,1]内,可见上面的解答是不严密的,思维不缜密的同学可能就会在这里出错。这是试题设置的一个隐蔽的陷阱。 四、反思

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