用均值不等式求最值三个怎么办

用均值不等式求最值三个怎么办

用均值不等式求最值三个怎么办

浙江 曾安雄

利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一,应注意条件“一正二定三相等”. 在解题的过程中,有时往往不能直接套用公式,即出现“变量是负数”、“和(或积)不是定值”、“等号取不到”等情形,这时该怎么办?下面浅析此时的应付对策,供参考.

一、变量是负数,怎么办?

在求最值中,当变量是负数时,常常是利用相反数转化为正数,再利用均值不等式及不等式的性质来解决.

例1 已知x<0,求y=x+1的最大值. x

1≥

用均值不等式求最值三个怎么办

22,显然是x分析:本题直接运用均值不等式,即y=x+

错误的,原因是均值不等式使用的前提条件是各项为正数.

解:∵x<0,有-x>0,

∴ -y=(-x)+

当且仅当-x=1≥

用均值不等式求最值三个怎么办

2=2,即y≤-2. x1,即x=-1时,上式取等号. x

∴当x=-1时,ymax=-2.

二、和(或积)不是定值,怎么办?

我们知道,已是正数前提下“和为定值时,积有最大值;积为定值时,和有最大值”. 当和(或积)不是常数,这时解决策略有:凑项法、配系数法、拆项法、平方法、纳入根号内法、取倒数法等.

例2 若a>b>0,求a+1的最小值. (a b)b

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