同济大学线性代数期末试卷1答案

一、填空题(每空3分,共24分)

1、 设 1、 2、 3均为3维列向量,已知矩阵 A ( 1, 2, 3),

B 1 2 3,3 1 9 2 27 3,2 1 4 2 8 3 ,且A 1,那么B 2、 设分块矩阵C

AO

OB , A,B均为方阵,则下列命题中正确的个数为 .

(A).若A,B均可逆, 则C也可逆. (B).若A,B均为对称阵, 则C也为对称阵. (C).若A,B均为正交阵, 则C也为正交阵. (D).若A,B均可对角化, 则C也可对角化.

23413、 设D

3

451

4561,则D7891

4、 设向量组(I): 1, 2, , r可由向量组(II): 1, 2, , s立.(注:此题单选)

(A).当r s时,向量组(II)必线性相关 (B).当r s时,向量组(II)必线性相关 (C).当r s时,向量组(I)必线性相关 (D).当r s时,向量组(I)必线性相关

5、 已知方阵A满足2A2

3A O, 则 A E

1

.

6、 当矩阵A满足下面条件中的 时,推理“若AB O, 则B O”可成立. (注:此题可多选)

(A).A可逆

(B).A为列满秩(即A的秩等于A的列数) (C).A的列向量组线性无关

(D).A O

7、 设矩阵A,B分别为3维线性空间V中的线性变换T在某两组基下的矩阵,已知1, 2为A的特征值,B的所有对角元的和为5, 则矩阵B的全部特征值为 .

8、 设Jn是所有元素均为1的n阶方阵(n 2),则Jn的互不相同的特征值的个数为 .

200 100 二、(10分)已知矩阵A 011 112

,B 052

, C 10 1.

031 021

030 矩阵P,X满足PA B,PX C. 求矩阵X.

x1 3x2 x3 0三、(10分)设线性方程组

x1 4x2 ax3 b , 问当参数a,b取何值时,

2x1 x2

3x3 5

(1). 此方程组无解?

(2). 此方程组有唯一解? (3). 此方程组有无穷多解?

四、(10分)设A 为4阶方阵,4维列向量b 0,R(A) 2.若p1,p2,p3,p4都是非齐次方程组Ax b的解向量,且满足

2 3 2 0 2 p1 p2 ,p2 p3 ,p p1 34 0 4 1 2

0 1

(1).(6分) 求齐次方程组Ax 0的一个基础解系. (2).(4分) 求Ax b的通解.

五、(16分)将二次型f(x2

2

2

1,x2,x3) x1 4x2 6x3 4x1x2 4x1x3 8x2x3 用正交变换化为标准型.

六、(14分)设V为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间.定义V上的变换T如下:

对任意X V,T X AX XT

A,其中A

12 21 ,

XT

表示X的转置矩阵.

(1). (6分)证明T是V上的一个线性变换;

(2). (8分)求T在V的基E 10 00 E 01 00 00

11 ,12 00 ,E21 10 ,E22 01 下的矩

阵.

b1 a1 a2

b2 a2 a3七、(1). (8分)已知向量组a,a

12, ,an线性无关,向量组b1,b2, ,bn满足:

, bn 1 an 1 a

n

bn an a1

分别讨论当n 4和n 5时,向量组b1,b2, ,bn是否线性相关?

(2). (8分)设 1, 2为方阵A的两个不同的特征值, 1, 2为A相应于 1的两个线性无关的特征向量, 3, 4为A相应于 2的两个线性无关的特征向量,证明向量组 1, 2, 3, 4线性无关.

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