方程有解问题的常用处理办法
这是一套理科题
方程有解问题的常用处理办法
湖南安仁一中 李春国(邮编423600 电话13257351617) (少年智力开发报数学专页湖南郴州工作站薛珠贵推荐13087350858) 方程f(x) 0有解的问题实际上是求函数y f(x)零点的问题,判断方程f(x) 0有几个解的问题实际上就是判断函数y f(x)有几个零点的问题,这类问题通常有以下处理办法: 一、直接法
通过因式分解或求根公式直接求方程f(x) 0的根,此法一般适合于含有一元二次(三次)的整式函数,或由此组合的分式函数。
x2 2x 3(x 0)例1(2010年福建理4)函数f(x) 的零点个数为( )
(x 0) 2 lnx
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解:当x 0时,由f(x) x 2x 3得x 1(舍去),x 3;当x 0时,由
2
f(x) 2 lnx
0得x e2,所以函数f(x)的零点个数为2,故选C。
二、图象法
对于不能用因式分解或求根公式直接求解的方程f(x) g(x) 0,可以先转化为方程
f(x) g(x),再在同一坐标系中分别画出函数y f(x)和y g(x)的图象,两个图象交
点的横坐标就是原函数的零点,有几个交点原函数就有几个零点。次法一般适合于函数解析式中既含有二次(三次)函数,又含有指数函数、对数函数或三角函数的函
数类型。
例2(2008年湖北高考题)方程2
x
x2 3的实数解的个数是
x
解析:在同一坐标系中分别作出函数f(x) 2和g(x) x 3
2
的图象,从图中可得它们有两个交点,即方程有两个实数解。 三、导数法
在考查函数零点时,需要结合函数的单调性,并且适合用求导来求的函数,常用导数
法来判定有无零点。
例3(2009年天津高考题)设函数f(x)
1
x lnx(x 0),则y f(x)( )
3
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