【智博教育原创专题】高考边缘热点问题之有界函数

高考边缘热点问题之有界函数

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【例1】 已知函数f(x) 1 a ()x ()x,若函数f(x)在 0, 上是以3为上界的有界函数,求24

实数a的取值范围。

11【解析】易知, 3 f(x) 3,所以 4 2x ()x a 2 2x ()x在 0, 上恒成立,即22

1x 1x 11 xxx,设 4 2 () a 2 2 ()t 2,h(t) 4t ,p(t) 2t ,t 1, ,易知 2 max2 mintt

11h(t) 4t 在t 1,

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单调递减,p(t) 2t 在t 1, 单调递增,所以h(t)max h(1) 5,tt

p(t)min p(1) 1,故实数a的取值范围为

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5,1 。

1. 对于非空数集A

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,若实数M满足对任意的a A恒有a M

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,则M为A的上界;若A的所有上...界中存在最小值,则称此最小值为A的上确界,那么下列函数的值域中具有上确界的是【B

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】 ....

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D.y lnx 1 【解析】由于y 0,所以y 无上界,故无上确界;由于y 0,故对任意

2

x11 的M [0, ),都有y M且M有最小值0,所以y 的上确界为0;由于y x和y lnx2 2

在其定义域范围内单调递增,故都无上界,所以选B。

2. 对于定义域为R的函数f(x),若存在非零实数x0,使函数f(x)在( ,x0)和(x0, )上均有零点,则称x0为函数f(x)的一个“界点”。则下列四个函数中,不存在“界点”的是 x

A.f(x) x2 bx 1 B.f(x) 2x x2 C.f(x) 2 x 1 D.f(x) sinx x

【解析】对于A.f(x) x2 bx 1,当判别式大于零时,值得有界点;

B.f(x) 2x x2,由于x 2,x 4相等,因此可知存在界点成立,落在(2,4)之间即可;

C.f(x) 2 x 1 ,存在界点在对称轴两侧各有一个,成立;

D.f(x) sinx x,因为只有一个交点不会存在界点,因此选D。

【点评】新定义的考查,重点是理解题意,明确界点的含义,对于各个函数逐一判定,是有创新的试题。

3. 对于函数f(x) x2 2x在使f(x) M成立的所有常数M中,我们把M的最大值Mmax 1叫

a2 b2

做f(x) x 2x的下确界,则对于正数a,b,的下确界( )【D】 2(a b)

A.4 B.2 C.1 D.1 42

4. 下列说法中

①若定义在R上的函数f(x)满足f(x 2) f(x 1),则6

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为函数f(x)的周期;

11② 若对于任意x (1,3),不等式x2 ax 2 0恒成立,则a ; ③ 定义:“若函数f(x)对于任意x R,都存在正常数Mf(x)2为有界泛函。”由该定义可知,函数f(x) x2 1为有界泛函;

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