_设而不求_法在解析几何中的应用

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数学教学研究 2007年第6期

设而不求 法在解析几何中的应用

史建军

(江苏省丹阳高级中学 212300)

熟练地运用设而不求法求解析几何问题,能避免繁杂运算、简化解题过程,使解题收到事半功倍的效果.现归纳解析几何中运用设而不求法解题的几种方法如下:

1 利用元素的整体结构

1).将点C1(0,1,1)代入(2)式左边得0+1+1=2>0;将点K2(-1,1,1)代入(2)式左边得-(-1)+1+1=3>0.所以点K2和点C1在平面A1DB的同侧,即n2向量方向指向二面角外.

所以所求二面A1 BD C1的平面角与这个夹角互补,其大小约为70.53!.

这种解法是利用二元一次方程(组)表示平面区域的特点 在直线同侧的点的坐标都满足不等式或都不满足不等式,类比到空间中,将平面方程求出的情况下,平面同侧的点代入方程的一边得到相同的符号.则我们可以将法向量求出后,用在二面角棱上的点作为表示法向量的有向线段的起点,就很容易求出该有向线段的终点.通过计算就可以判断该点在平面的哪一侧,从而判断法向量的方向.再判断另一个法向量方向,从而可以得到两个法向量夹角和二面角大小的关系,最终得到二面角的大小.这种方法主要在于解决判断二面角和向量夹角关系这个难点.4 用垂直棱的向量求二面角大小

利用定义法求二面角的大小,是在棱上取一点在两个半平面内分别作棱的垂线,则这两条垂线所成角就是二面角的大小.而这样的作法往往是很困难的,主要表现为取棱上的点取哪一点,这个点不是随便取的,要有利于计算平面角,往往要过两个半平面内关键的两点,比如本文例中在BD上找到一点,过这点在两个半平面作棱垂线后要分别过点A1,C1.但如果利用向量的方法求解则可以找两点分别满足过A1,C1的条件,这样解题就非常方便了,还是以上面的例题

解题过程中,不直接求出所设元素,而抓住元素的整体结构,能有效地减少运算量,使解题化繁为简.1.1 利用点的坐标的整体结构

例1 已知抛物线y2=4x,过点P(1,3)作直线l交物线于A,B两点,使P恰为弦AB的中点,求直线示范解题:

解法4 同解法1建立空间直角坐标系D xyz,则=(1,1,0),1=(0,1,1),1=(1,0,1).设直线BD上取点A2使A1A2#DB,设2= ( R),则A1A2=DA1-DA2=(1- ,- ,1).

因为A1A2#DB,即1-2 =0, =1/2,所以A2A1=(1/2,-1/2,1).

设直线BD上取点C2使C1C2#DB,设2= ( R),则2C1=DC1-DC2=(- ,1- ,1).

因为C1C2#DB,即1-2 =0, =1/2,所以C2C1=(-1/2,1/2,1).则 cos%A2A1C2C1&=

1/21

=3

2A1,C2C170.53!.

因二面角的大小就等于A2A1C2C1,因此,二面角A1 BD C1的大小约为70.53!.

运用平面内垂直与棱且指向棱外的两个向量求二面角的大小,可以减小解题的难度,可以避免判断二面角与向量所成角的关系,也避免了在棱上找关键点的难题,但一般这种方法的运算量是比较大的.

本文是利用空间向量求解二面角大小,在求解过程中要不断的联系图形中的二面角的平面角,联想学过的类比推理和二元一次方程表示平面区域的原理,方便了求解的过程.由此可以看到,在教学过程中,教师也是要不断的思考和学生共同进步,这样才能适应时代的要求,适应新课程改革的要求.

(收稿日期:2007-03-27)

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