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转《数学奥林匹克专题讲座》十(2009-01-31 12:43:51)

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第18讲 数学方法选讲(下)

四、从反面考虑

解数学题,需要正确的思路。对于很多数学问题,通常采用正面求解的思路,即从条件出发,求得结论。但是,如果直接从正面不易找到解题思路时,则可改变思维的方向,即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考,从而使问题得到解决。

例1 某次数学测验一共出了10道题,评分方法如下:

每答对一题得4分,不答题得0分,答错一题倒扣1分,每个考生预先给10分作为基础分。问:此次测验至多有多少种不同的分数?

分析:最高的得分为50分,最低的得分为0分。但并不是从0分到50分都能得到。 从正面考虑计算量较大,故我们从反面考虑,先计算有多少种分数达不到,然后排除达不到的分数就可以了。

解:最高的得分为50分,最低的得分为0分。在从0分到50分这51个分数中,有49,48,47,44,43,39这6种分数是不能达到的,故此次测验不同的分数至多有51-6=45(种)。

例2 一支队伍的人数是5的倍数,且超过1000人。若按每排4人编队,则最后差3人;若按每排3人编队,则最后差2人;若按每排2人编队,则最后差1人。问:这支队伍至少有多少人?

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