南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题答案

南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题

南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题

2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A卷

1 2 1

A 2 23

1 11 , 一、(20分)设矩阵

(1)求A的特征多项式和A的全部特征值; (2)求A的行列式因子、不变因子和初等因子;

6

(3)求A的最小多项式,并计算A 3A 2I;

(4)写出A的Jordan标准形。 二、(20分)设R(1)求R

2 2

2 2

是实数域R上全体2 2实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。

的维数,并写出其一组基;

(2)设W是全体2 2实对称矩阵的集合, 证明:W是R

2 2

的子空间,并写出W的维数和一组基;

(3)在W中定义内积(A,B) tr(BA),其中A,B W,求出W的一组标准正交基;

T2 22 2T(A) A A, A RRT(4)给出上的线性变换:

写出线性变换T在(1)中所取基下的矩阵,并求T的核Ker(T)和值域R(T)。 三、(20分)

213

A 121

,求A1,A2,A ,AF; (1)设

(2)设证明:

A (aij) Cn n

*是

,令

A* n maxaij

i,j

Cn n上的矩阵范数并说明具有相容性;

A* A2 A*(3)证明:。 1 1

11A

00

00 四、(20分)已知矩阵

(1)求矩阵A的QR分解;

1 2

0 1

b 1 1

2 1 ,向量 ,

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