2005年全国高考数学试题分类汇编函数与导数解答题参考答案

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2005年全国高考数学试题分类汇编函数与导数解答题参考答

——函数与导数解答题参考答案

(注:打▲标记的为导数应用试题)

▲ 9.(2005辽宁卷第22题,本小题满分12分)

本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分

(Ⅰ)解:m f(x0) x0f (x0).…………………………………………2分 (Ⅱ)证明:令h(x) g(x) f(x),则h (x) f (x0) f (x),h (x0) 0. 因为f (x)递减,所以h (x)递增,因此,当x x0时,h (x) 0;

当x x0时,h (x) 0.所以x0是h(x)唯一的极值点,且是极小值点,可知h(x)的

最小值为0,因此h(x) 0,即g(x) f(x).…………………………6分

(Ⅲ)解法一:0 b 1,a 0是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立. x2 1 ax b,即x2 ax (1 b) 0对任意x [0, )成立的充要条件是 a 2(1 b).

另一方面,由于f(x) 3x3满足前述题设中关于函数y f(x)的条件,利用(II)的结果可知,

2

2

2

12

2

33的充要条件是:过点(0,b)与曲线33相切的直线的斜率大于a,该切线的方程为ax b xy x22

y (2b)

12

x b.

2

于是ax b 3x3的充要条件是a (2b)2.…………………………10分

2

1

3

综上,不等式x2 1 ax b x3对任意x [0, )成立的充要条件是

2

(2b)

12

2

a 2(1 b). ①

12

12

显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式(2b) 2(1 b). ②

12

有解、解不等式②得2 2 b 2 2. ③

44

因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数在a与b所满足的关系.…………12分

(Ⅲ)解法二:0 b 1,a 0是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.

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