2008第37届美国数学奥林匹克 中英文对照版试题

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《数学奥林匹克报》 Mathematical Olympiad Express http://www.wendangwang.com 2008 第 37 届美国数学奥林匹克 USA Mathematical Olympiad 2008 年 4 月 29 日 12:30~17:00 美东时间 1,Prove that for each positive integer n ,there are pairwise relatively prime integers k0 , k1 ,……, kn all strictly greater than 1,such that k0 k1 kn 1 is the product of two consecutive integers. 汉译:求证:对于每个正整数 n ,都存在两两互质的都大于 1 的正整数 k0 , k1 ,……, kn , 使得 k0 k1 kn 1 是两个连续整数之积. 2,Let △ ABC be an acute,scalene triangle,and let M , N ,and P be the midpoints of BC , CA , and AB , respectively. Let the perpendicular bisectors of AB and AC intersect ray AM in points D and E respectively, and let lines BD and CE intersect in point F ,inside of triangle ABC . Prove that points A , N , F ,and P all lie on one circle. 汉译:不等边三角形锐角△ ABC 中,点 M , N , P 分别是边 BC , CA , AB 的中点. 边 AB , AC 的中垂线分别交 AM 于点 D , E .直线 BD , CE 交于△ ABC 的一点 F . 求证: A , N , F , P 四点共圆. A P D F E N B M C 3,Let n be a positive integer.Denote by S n the set of points that x + y + ( x, y ) with integer coordinates such 1 < n .A path is a sequence of distinct points 2 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,……, ( x , y ) and in S n such that,for i =2,……, ,the distance between points ( xi , yi ) ( xi 1 , yi 1 ) is 1 (in other wor

ds,the ( xi , yi ) and ( xi 1 , yi 1 ) are neighbors in the lattice of points with integer coordinates). Prove that 普及数学知识,传播奥林文化,快递竞赛信息.

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