同底指数函数与对数函数的交点问题

关于同底指数函数与对数函数的交点问题

x函数y a与y logax图像的交点问题在一些题目中经常出现,由于教科书中并没有

提到,在日常教学中,老师往往作出草图去判断,但往往出现错误。现将该问题完整解答如下:

x一、a 1时方程a logax的解

xx先求如图3所示曲线y a与y logax相切时a的值。设曲线y a与y logax相切

于点M(x0,x0),由于曲线y a在点M处的切线斜率为1,

x0x a x0, a0 x0,即 x x0 (a)'|x x0 1 alna 1 所以 x

ax0 x0,11 lna 则a 1lna x0 所以 lna 1e ,所以a ee,此时x0 elna即。 以上说明,当a1

ee1x时,两条曲线y a与y logax相切于点M(e,e)。

因此有以下结论: ①当a1

ee,方程(*)无解(见图1所示);

同底指数函数与对数函数的交点问题

②当1 a 1

ee,方程(*)有且只有两解(见图2所示);

同底指数函数与对数函数的交点问题

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