高中数学不等式典型例题解析

不等式

一.不等式的性质:

1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若a b,c d,则a c b d(若a b,c d,则a c b d),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;

2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:

ab

若a b 0,c d 0,则ac bd(若a b 0,0 c d,则 );

cd

3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若a b 0,则an

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高中数学不等式典型例题解析

bn

1111

4.若ab 0,a b,则 ;若ab 0,a b,则 。如

abab

(1)对于实数a,b,c中,给出下列命题: ①若a b,则ac2 bc2; ②若ac2 bc2,则a b;

11

③若a b 0,则a2 ab b2; ④若a b 0,则 ;

ab

ba

⑤若a b 0,则 ; ⑥若a b 0,则a b;

ab

ab11

⑦若c a b 0,则; ⑧若a b, ,则a 0,b 0。

c ac bab

其中正确的命题是______ (答:②③⑥⑦⑧); (2)已知 1 x y 1,1 x y 3,则3x y的取值范围是______(答:1 3x y 7);

1 c

(3)已知a b c,且a b c 0,则的取值范围是______ (答: 2, )

2 a

二.不等式大小比较的常用方法:

1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式); 3.分析法; 4.平方法;

5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ;

8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如

1t 1

(1)设a 0且a 1,t 0,比较logat和loga的大小

22

1t 11t 1

(答:当a 1时,logat loga(t 1时取等号);当0 a 1时,logat loga(t 1

2222

时取等号));

21

(2)设a 2,p a ,q 2 a 4a 2,试比较p,q的大小

a 2

(答:p q);

(3)比较1+logx3与2logx2(x 0且x 1)的大小

444

(答:当0 x 1或x 时,1+logx3>2logx2;当1 x 时,1+logx3<2logx2;当x

333

时,1+logx3=2logx2)

三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”

这17字方针。如

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