1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1| |MF2| 2a。

x2y2y2x2

椭圆的标准方程为：2 2 1（a b 0）（焦点在x轴上）或2 2 1

abab

（a b 0）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中a,b的大小a b 0，其中b2 a2 c2；

x2y2y2x2

②在2 2 1和2 2 1两个方程中都有a b 0的条件，要分清焦点的位

abab

x2y222

置，只要看x和y的分母的大小。例如椭圆 1（m 0，n 0，m n）当

mn

m n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m n时表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

x2y2

①范围：由标准方程2 2 1知|x| a，|y| b，说明椭圆位于直线x a，

ab

y b所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以 y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x, y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以 x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以 x代替x， y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x 0，得y b，则B1(0, b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y 0得x a，即A1( a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在Rt OB2F2中，|OB2| b，|OF2| c，|B2F2| a，且|OF2|2 |B2F2|2 |OB2|2，即c2 a2 b2；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e 叫椭圆的离心率。∵a c 0，∴

0 e 1，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e

ca

越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅

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