应用Banach不动点原理证明隐函数存在定理

隐函数

第3卷总第8期

Vd.3

S哪No.8

广州广播电视大学学报

JOI瓜NAI.0FG

IIAN(诩∞U2003年9月

RADl0&TVUNIⅥ!RSITYSep.2003

应用

Banach不

动点原理证明隐函数存在定理

邹自德

(广州市广播电视大学广东广州510260)

摘要:隐函数存在定理是高等数学中的一个基本定理。本文利用泛函分析中的Banach不动点定理(压缩映象原理)给出了该定理的证明,从而显示出高观点下处理数学问题的优势和深刻性。

关键词:隐函数Banach不动点压缩映象解的存在性中图分类号:013

文献标识码:A

文章编号:1672—0385(2003)03—0034—02

一、引言

连续函数y=9(z),它在o(zo,r)内满足:

Banach不动点定理(压缩映象原理)非常』F(x,9(x))三o

基本,它是泛函分析中的一个最常用、最简单的l

y0=甲()(0)

存在性定理。数学分析中的许多存在性定理是它的特殊情形。本文利用该原理证明隐函数存在定

证明:考察映射T:9一即理,进而发现在高观点下处理问题的优势。

定义(压缩映射):称T:(把,p)一(把,(即)(z)2

9(z)一可南万’F(z,P(z))

p)是一个压缩映射,如果存在0<a<1,使得,

其中,甲∈C[zo一,.,zo+r]。这里r>0,户(T2,而)≤口户(z,y),

(Vz,y∈把)

C[zo—r,zo+r]表示定义在闭区间[zo—r,zo定理1(Banach不动点定理一压缩映象原+r]上取值在R上的连续函数空间,其距离规

理)[1]

定为:

设(砣,p)是一个完备的距离空间,T是户(P,1吵)=:,max.、IP(z)一驴(z)I

(砣,p)到其自身的一个压缩映射,则T在把上

先证映射T为压缩映射。

存在唯一的不动点。

因为,Fv在Ix一)(0l≤a,Iy一3,o『≤b上连续,二、隐函数存在定理的证明

所以,存在艿>0,使得当『z—zoJ≤艿,ly一如』

≤8时,

定理1(隐函数存在定理)[2]:设二元函数满足下面条件:

(1)在区域D:I

一南‘E(z,训<专

z—zo

I≤口,I

y—yo

I≤6

记,d(z)l=9(z)一妒(z)

上,F,及R连续;

由微分中值定理,

(2)F(zo,yo)=0;对0<r<艿,9(z),妒(z)∈[yo一艿,yo+d],

(3)F(zo,yo)≠0。存在夕=印(z)+(1一口)些(z)(0<臼<1)

使

则有以下结果,

得,

存在点zo的某个邻域0(zo,r)以及唯一的

收稿日期:2003—5一l

作者简介:邹自德(1964一),男,汉族,湖南祈东人,副教授,硕士。

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