高中立体几何典型500题及解析(七)(301~350题)

这里收集了500道高中的立体几何的典型题,通过这些练习,立体几何要保证一分都不丢!

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高中立体几何典型500题及解析(七)(301~350题)

301. 正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中,AB1⊥BC1.求证:AB1⊥CA1

高中立体几何典型500题及解析(七)(301~350题)

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解析:方法1 如图,延长B1C1到D,使C1D=B1C1.连CD、A1D.因AB1⊥BC1,故AB1⊥CD;又B1C1=A1C1=C1D,故∠B1A1D=90°,于是DA1⊥平面AA1B1B.故AB1⊥平面A1CD,因此AB1⊥A1C. 方法2 如图,取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B,易证C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1⊥BD1,从而AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1⊥A1C. 说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线,证明线面垂直常采用下列方法: (1)利用线面垂直的定义;

(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线; (3)证明直线平行于平面的垂线;

(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.

302. 已知:正三棱柱ABC—A′B′C′中,AB′⊥BC′,BC=2,求:线段AB′在侧面BB'C'C上的射影长

高中立体几何典型500题及解析(七)(301~350题)

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解析: 如图,取BC的中点D.∵AD⊥BC,侧面BCC'B'⊥底面ABC,∴AD⊥侧面BCC'B'B'D是斜线AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′,∴B'D⊥BC′.

设BB′=x,在RtΔB'BD中,BE∶BD=BB',B'D= x.

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∵E是ΔBB′C的重心.∴BE=BC′=4 x

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