微积分中的数学美赏析

南肛科技 2 0 1 3年第6期

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微积分中的数学美赏析 俸卫 6 41 1 1 2四川内江内江师范学院数学与信息科学学院摘要本文通过分析微积分的统一美、对称关、奇异美和神力美,并结合实例对每一种美进行了阐述,清晰地揭示了 微积分中所蕴含的数学美,进一步指出认识和理解微积分的数学美是培养学生学习数学的兴趣和激发学习数学热情的捷径,是提高学生的思维品质和探究能力的深层动力。 关键词微积分数学美欣赏

英国数学家罗素说:“数学,如果正确地看,不但拥有真理,而且具有至高的美。”” 作为高等数学中一门重要的学科微积分尤其具有这种美,即数学美。数学美的形态包括科学美和艺 术美。科学美主要是指理论美,其内涵是指公式美和结构美。 艺术美是通过艺术形象展现生活中的美。科学美和艺术美都是自

解因 :0、 是

的可去间断点,所以积分为常义积

分。令 z=- - -t,

则原式= f 2 — s i n (— n/ r -— 2 n t ) (一 f )=f c o s n l r . s i n 2 n t d C OS r COS r

然美和社会美的客观反映,只是侧重点和方法不同而已。艺术美 主要是表示社会,即使表示自然也是通过人的社会感情去实现。 而科学美则主要是表示自然,且逐步向社会现象参透,故它具有 一

:(一 1 )一 一 COS

0

注:积分 (一 1 ) n C OS

的被积函数— s i n 2 n x的可去间断 —

CO SX

般语言文学与艺术所具有的美的特点。数学美在内容结构上、

点是+ - 2,此积分为常义积分。再利用对称区问上的奇函数使 定积分等于 0的性质。

方法上也是具有自身的某种美,因而数学美是具体、形象、生动的,所以微积分作为自然科学的重要内容,当我们谈论它的美

时,自然主要谈论其数学美。我国数学教育家徐利治教授认为: 数学是一门很美的科学,它既有优美的内容建构,又有美妙的思想和应用,而且科研成果往往有希望获得哈代 ( G. H. H a r d y )所说

( 2 )函数图象对称性。借助积分中函数图象的对称性,获 得简捷的解题途径,

这是对称法的又一种妙用

例 2汁算 I=

的某种“永恒价值””。培养数学审美能力是完善人们对美的全十Z =1所围成的区域。 面认识的需要,是全面提高人的素质的需要。如果在教学上充分解积分域 Q关于面对称,被积函数满足 f ( x, Y,一 Z )=一 地展示微积分的数学美,可以激发学生的学习兴趣,增强学习的动力。本文将从微积分的简洁美、统一美、对称美、整齐美、奇

f( x, Y, z ),原积分I=0。 ( 3)轮换对称性。根据研究问题中解析式结构的对称性, 由一个结论迅速地得出类似结论,这不仅能缩减复杂的证明或计算过程,还能让人欣赏对称美

异美和神奇美来进行数学美的欣赏。 1 对微积分统一美赏析

在微积分中,统一美的内容是非常丰富的。从微积分所使

例计 3算 f J J f + + —,, 为椭球 X 2+ — y 2+ z 2= 1 的外表面。

用的符号体系和由此表达的结论看,牛顿与莱布尼兹都有自己的 一

套微积分符号体系。特别是莱布尼兹,更是在符号设计上力求

符号简单,且具有丰富的内涵和启发性。莱布尼兹用简单的记号 概括了微积分概念中的丰富思想,并且使得微积分的许多运算在

解作广义极坐标变换 X:o r C O S 0, Y=b r s i n 0,则

这一套简单符号的操作下变得明了、直观,简约了思维的过程, 体现了思维的经济性,同时也在这套符号体系下以简单的形式揭示了微分与积分的内在联系。微分学中,有一元函数的一阶微分的形式不变性,对于二元函数也有一阶全微分的形式不变性。定

{ = f J 一

c 事+ 1一r i

:

2 a b f d 0 (南 c

: 4石 .一 a b c

积分可以利用牛顿莱布尼茨公式进行计算,这不仅十分简便,更 千 . .

日.

根据轮换对称性,即得 f X

= 4万 -等, = 4万詈 . (丝十 c一 a+ ) a D

重要的是体现出定积分通过牛顿莱布尼茨公式转化成不定积分, 使得定积分和不定积分这两个内涵完全不同的概念紧密联系起

+ Y

+ Z

来,实现了统一。而重积分、曲线积分、曲

面积分的计算又都要 化成定积分,进而也与不定积分联系起来,呈现出完全的统一。 2对微积分对称美赏析

用轮换方法得I x 2 d = 2 x a (,是球面X + Y + z = a 与平 面+Y+Z=0相交的圆周 )。 3对微积分的奇异美赏析

( 1 )积分区间的对称性。利用积分区间关于原点的对称性

和被积函数的奇偶性,简化定积分的计算,是积分运算中最常见 的一种方法。若积分区间不关于原点对称,或积分区间虽然关于

数学美的重要特征之一是奇异性。“寻常”与“奇异”是相互依存、相互对立的。“奇异”展示了某种神秘性,让人产生强烈的求知欲,激起人们探索其中的奥秘。数学中的奇异美常常 与反例联系在一起,而反例的得出对于认识的深化和理论的重大

原点对称,但被积函数是非奇非偶函数,有时通过适当的换元或 拆项等方法也可转化为对称区问上的积分问题。

例l求, s i n 2 n x d (其中为自然数 ) 。

进展有重要作用。微积分使得一些用初等数学方法根本不可能求得其值的无理数的近似计算成为可能,由函数的幂 (转1 2 5页)

微积分中的数学美赏析

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