线面垂直教案

适用于高三第一轮复习,答案详尽,重点突出。

2012第一轮复习数学教案

线面垂直、面面垂直

教学目标:掌握线面垂直、面面垂直的证明方法,并能熟练解决相应问题. (一) 主要知识及主要方法:

【思考与分析】要证明线面垂直,我们可以把它转化为证明线线垂直,这道题可以通过证明A1C与平面C1BD内两条相交直线BD,BC1垂直即可.而要证明A1C与相交直线BD、BC1垂直,可利用三垂线定理的三步曲证明.基础平面分别取下底面及右侧面.

1.线面垂直的证明: 1 判定定理; 2 如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于

这个平面; 3 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面; 4 两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 5 如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直.

P A 6 向量法:

PQ AB PQ AB 0

PQ

PQ AC PQ AC 0

CQ

2.面面垂直的证明: 2 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 1 计算二面角的平面角为90 ;

那么这两个平面垂直;

题型讲解证明线线垂直

三垂线定理与平面的位置无关,即对水平位置、竖直位置、倾斜位置的平面都能用三垂线定理.下面我们 通过实例来体验“三步曲”的具体应用过程.

例1(1) 已知PA、PB、PC两两互相垂直,求证:P在平面ABC内的射影O是△ABC的垂心.

【思考与分析】 要证O是△ABC的垂心,我们需要证明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分别是AP、BP、CP在平面ABC上的射影,因此我们想到应用三垂线定理.分三步进行:①定线面:即面内直线BC与基础平面为底面ABC,②找三线:即垂线PO,斜线PA,射影AO,③证垂直:即AO⊥BC.同理可证其它两条.

证明:因为P在平面ABC内的射影为O,所以PO⊥平面ABC,连结AO且延长交BC于D,则AO是PA在平面ABC上的射影.

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∵ AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P, ∴ PA⊥平面PBC,又BC平面PBC,

∴ AP⊥BC.根据三垂线定理的逆定理知,AD⊥BC,所以AD是△ABC中BC边上的高.连结CO并延长交AB于F,同理可证CF⊥AB;所以CF是△ABC中AB边上的高,AD∩CF=O,所以O是△ABC的垂心. 【反思】 解这道题时,首先应用的是线面垂直的判定定理,然后运用三垂线定理的逆定理,所以要想快速解题,我们需要熟练掌握并能综合应用所学知识. (2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:对角线A1C⊥平面C1BD.

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证明:∵ A1A⊥平面ABCD,A1C是斜线,连AC,AC⊥BD,由三垂线定理知BD⊥A1C. ∵ A1B1⊥平面BCC1B1,A1C是斜线,连B1C,B1C是A1C在BCC1B1内的射影, 又∵ BC1⊥B1C,由三垂线定理知BC1⊥A1C. 又BD∩BC1=B, ∴ A1C⊥平面DBC1.

【反思】 应用三垂线定理解题一定要熟记这三个步骤,而且还需要我们有一定的空间立体感. 例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B⊥AC1, 求证:A1B⊥B1C

证明:取A1B1的中点D1,连结C1D1∵B1C1=A1C1,∴C1D1⊥ABB1A连结AD1,则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影,

∵A1B⊥AC1,

∴A1B⊥AD11取AB的中点D,连结CD、B1D,

则B1D∥AD1,且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影∵B1D⊥A1B,∴A1B⊥B1C点评:证明异面直线垂直的常用方法有:证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面;利用三垂线定理及其逆定理 证明线面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过A点作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC

证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC

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又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC 而PC∩AC=C,∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC内,∴BC⊥AE∵PC⊥AE,且PC∩BC=C, ∴AE⊥平面PBC 点评:证明直线与平面垂直的常用方法有:利用线面垂直的定义;利用线面垂直的判定定理;利用“若直线a∥直线b,直线a⊥平面α,则直线b⊥平面α”

练习:

1. 以AB为直径的圆在平面 内PA⊥ 于A,C在圆上,连PB、PC过A作AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,试判断图中还有几组线面垂直。

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