幂级数的求和方法

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价值工程

幂级数的求和方法

SummationMethodofPowerSeries

杜道渊DuDaoyuan

(四川理工学院理学院,自贡643000)

Zigong643000,China)(SchoolofScience,SichuanUniversityofScience&Engineering,

摘要:本文应用高等数学的知识,介绍了幂级数的几种常见的求和方法及技巧。

Abstract:Bymeansoftherelevantknowledgefromtheadvancedmathematics,somegeneralsummationmethodandtechniquesofpowerseriesare

introducedinthispaper.

关键词:幂级数;收敛区间;求和

Keywords:powerseries;convergenceinterval;summation

中图分类号:G42

文献标识码:A

文章编号:1006-4311(2010)26-0202-01

0引言

幂级数Σanx的求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同

n=1∞

n

3逐项积分

幂级数在其收敛区间内其和函数是可积的,且有逐项积分公式a

dx=Σ乙axdx=ΣxΣax乙乙s(x)dx=乙乙x

x

n

x

n

n

n=0

n

n=0

n

n=0

n+1

时具有较强的技巧性。下面谈谈幂级数的几种常见的求和方法。

1计算部分和的极限

根据无穷级数收敛的定义知:部分和的极限如果存在,则该极限就是无穷级数的和。对于幂级数Σanx,设前项和为sn(x),则

n=1∞

n

通过对幂级数的逐项积分将其转化为能求出和函数的幂级数,

再求导即可。

2n

例3求幂级数Σ(n+1)x(x<1)的和函数

n=0

2n解:设s(x)=Σ(n+1)x,两边积分

n=0x∞

limsn(x)=s(x)

n→∞

例1求幂级数Σnx(x<1)的和

n=1

n

(x)=Σkx,则xsn(x)=Σkx解:记部分和sn

k=1

k=1

n

n

n

k

n

k+1

,sn(x)-xsn(x)=

x

(sx)dx=

n+1

x(1-x)-nxn+1,(1-x)-nxn+1,sn(x)=x因为x<1,所以limsn

n→∞(1-x)(x)=x=s(x)

(1-x)

2逐项微分

幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的,且有逐项求导公式

=xΣ(x

n=0x

dx=Σ乙(n+1)xdx=Σ(n+1)x(n+1)x乙Σ乙乙

x

)=x→=x=xΣx→→(1-x)

2n

x

2n

n=0

n=0

n=0

n+1

n=0

n+1

x乙s(x)dx=(1-x

———————————————————————

上式两端求导得和函数s(x)=1+x(x<1)

(1-x)

∞∞4转化为微分方程∞

n-1nn

s(′x)=Σanx′=Σ→′=Σnanx幂级数在收敛区间内其和函数具有任意阶导数。对于有的幂级anx→

n=0n=1n=0

数在求其和函数时可以先求出幂级数所满足的微分方程及初始条

通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数,

件,再通过解微分方程来求和函数。

再积分即可。∞3n

∞xn例4求幂级数Σ的和函数

例2在区间(-1,1)内求幂级数Σn+1x的和函数,并由此计n=0n=1

∞3n

x解:设s(x)=Σ,则

算级数Σn+1的和n=0n=1n·2∞∞3n-13n

∞∞xxns(′x)=Σ′=Σn1n

n=1解:设和函数为s(x),则s(x)=Σn+1x=Σx+xn=0n=1n=1∞3n-2

∞∞xnns(″x)=Σx=x,设s1(x)=Σ1x,逐项求导得Σn=1n=1n=1∞n

x∞x′n-1以上三式相加得s(x)+s(′x)+s(″x)=Σ=e,这是二阶常系1s1(x)=Σx=n=0n!n=1

数的线性微分方程,且满足初始条件s(0)=1,s(′0)=0,xx

′1x两边积分s1(x)dx=dx=-ln(1-x)=s()-1xx200解此微分方程得s(x)=2ecosx+1e,(-∞<x<+∞)

x所以s(x)=-ln(1-x)

通过以上介绍的求和方法及具体例子,举一反三,对于这部分1内容的学习是很有帮助的。∞

11参考文献:令得x=1得Σn+1n=s=-ln1-=1+ln2n=1n[1]杨宁,周海东等.西南交大.高等数学(下)[M].成都:西南交通大学出版·21-2003.社,

→→

→→

→→

乙乙

→→

作者简介:杜道渊(1964-)男,四川南充人,学士,四川理工学院教师,研究方

向为优化理论及高等数学研究。

[2]吴赣昌.高等数学(下)[M].北京:中国人民大学出版社,2007.

[3]毕道旺.无穷级数求和举隅[J].宁波教育学院学报,2009,(4):76-78.

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