因动点产生的面积问题(中考压轴题)

面积专题

因动点产生的面积问题

例 1 2012年菏泽市中考第21题

如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.

(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;

(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出它的两条性质.

因动点产生的面积问题(中考压轴题)

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.

请打开超级画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.

思路点拨

1.四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,可以转化为四边形PB′OB的面积是 △A′B′O面积的3倍.

2.联结PO,四边形PB′OB可以分割为两个三角形.

3.过点向x轴作垂线,四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.

满分解答

(1)△AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A′、B′的坐标分别为(-1, 0) 、(0, 2). 因为抛物线与x轴交于A′(-1, 0)、B(2, 0),设解析式为y=a(x+1)(x-2), 代入B′(0, 2),得a=1.

所以该抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2) =-x2+x+2. (2)S△A′B′O=1.

如果S四边形PB′A′B=4 S△A′B′O=4,那么S四边形PB′OB=3 S△A′B′O=3. 如图2,作PD⊥OB,垂足为D. 设点P的坐标为 (x,-x2+x+2).

S梯形PB'OD

1111

DO(B'O PD) x(2 x2 x 2) x3 x2 2x. 2222

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