操作手拉格朗日动力学方程

4.3.3操作手动力学方程

现在我们将对任意操作手推导用一组A变换描述的动力学方程。我们将分五步来进行这一推导。首先计算任一杆件中任意一点的速度,其次计算动能。然后研究势能,构成拉格朗日函数和对它微分以得到动力学方程。 4.3.3.1操作手上一点速度

给出相对于杆i描述的一点r,它在基座坐标中的位置为

i

r=Tiir(1)

i Ti i

&j r(2) q= ∑q j=1j

2

则它的速度是

d0r

dt

速度的平方是

d0r 00

& r&(3) =r dt

或者用矩阵形式

d0r 00T

& r&(4) =Tracer dt

2

()

将公式(2代入公式(4)得

T2

i i T d0r T iiii

&jr∑ &kr dt =Trace ∑ qq qq

k=1 k j=1j

(5)

ii TiiiT Ti

&jq&k =Trace ∑∑rrq

j=1k=1 q qkj

T

4.3.3.2动能

位于杆i上r处质量为dm的质点的动能是

i

ii TiiiT TiT1

&jq&kqrrdKi=Trace ∑∑ qk2 j=1k=1 qj

ii Ti1

=Trace ∑∑ j=1k=1 q2j

则杆i的动能是

dm

(6)

(rdmr)

i

iT

Ti

&jq&k q

qk

T

ii Ti1

Ki=∫dKi=Trace ∑∑ j=1k=1 qj2linki iiT TiT

∫rrdm &&

qqjqk (7) linki k

公式(7)中的积分称为伪惯量矩阵Ji并给出为

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