把复变函数教材的习题[1]中圆心在原点的圆域上的Laplace方程的Dirichlet问题的解,推广到了圆心在任一点的圆域上,并以此为基础证明了已有的解析函数和调和函数在圆周及圆域上的平均值公式。

第 2第 3 4卷期 21 0 1年 6月

高等函授学报 (自然科学版 ) J u n l fH ih rCo r s o d n eEd c t n Na u a ce c s o r a g e re p n e c u a i ( t r lS in e ) o o

Vo . 4 No 3 I2 . 2 1 0 1

大学教学

任意圆域上 L pa e程 Di c lt a lc方 r he问题中 i解析函数的解法 赵冬梅张家雷 ( .山大学里仁学院；2.学院，河北秦皇岛 0 6 0 ) 1燕理 6 0 4

摘要：复变函数教材的习题Ⅲ中圆心在原点的圆域上的 L pa e方程的 D r he问题的把 al c i c lt i解，广到了圆心在任一点的圆域上，以此为基础证明了已有的解析函数和调和函数在圆周及推并 圆域上的平均值公式。

关键词：变函数；解析函数；调和函数； a lc方程的 D r he问题复 L pa e ic l i t中图分类号： 7 O1 4文献标识码： A文章编号：0 6 3 3 2 1 ) 3 0 4 - 0 1 0—7 5 ( 0 1 0 - 0 9 2

0引言

J一)南 R RⅡ ( ZIJ Z=z瓦一 2 O z o— r…在 J R 一 一

解析函数的虚部是实部的共轭调和函数；一

圆 l— z— R外， 。I由柯西一古萨定理 。一 f( , I一 z> R ￣ A (三。I ) r - - -

对有序的二元调和函数，如果后者是前者的共轭， 则可构成解析函数。鉴于解析函数与调和函数的密切关系，完全可以用复变函数的方法来求解某 些特殊区域上的 L pae程问题。 a lc方 1任意圆域上二维 L pae程的钬氏问题 a lc方

一

I z R卜 0I

c一

() 2

式 ( )式 ( )可得 1减 2

例求解圆域上二维 L pae方程的 a lc Diihe rc lt问题 f +一 0, ( z— 0。 (— Y ) )+ o。< R。

)丽卜 (+ ),一1古 I zI n—R、

() 3

其中

{I。c;— ( ) c, g, z z z—+ I。 解 —

j .+ J.一 _。 z _ z —一

+

(一 o )一 (一 )

函数 ( )圆域 D一{z,,在 (

)J z ( ————————————— ———————一

。

)+ (, 3一。< R}内调和，存在调和函 ) 故

z+ R。 _二。/二

一

数 v x,, ( )使得 f z ( ) i( )在 D ( )= z,+ v z,内解析。由柯西积分公式，有 )~ 。

+ 一

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I z fR卜0;卜 ; R) 记三：+亏= L~ znJ

() 1 ,里 l三一这。 I :

R2 (一 O一 O一 _— Z)丽， Z, [一。一 (。 - R一 ( ( ) z— )I 一。 E ) 代人式 可得 3

收稿日期：2 1 -0~ 2. 01 3 8 作者简介：冬梅 (9 6,,赵 1 7一)女山东省宁津县人，士，教，究方向：用数学 .硕助研应

通讯作者：张家雷 (9 6 )男， 1 7一，山东省济阳县人，读博士生，师，究方向：用数学在讲研应 49