87、(06 分)设32(),()1,12f x x x x x ==+≤≤，验证柯西定理的正确性。

答案：证明：(),()f x x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且'()20,(12)x x x =≠≤≤，即(),()f x x 在[1,2]上满足柯西中值定理的条件。又'2()3f x x =，令

''()3(2)(1)7

()2(2)(1)3

f f f

ξξ ξ -===-，得到(1,2)内有解149ξ=。

即存在14(1,2)9ξ=∈，使得''()(2)(1)

()(2)(1)

f f f ξ ξ -=-，这就验证了柯西定理对(),()f x x 的正确性。

88、（04分）证明对于函数2y ax bx c =++在区间[,]p q 上应用拉格朗日中值定理时所得到点ξ位于区间的中点。

答案： 证明：2y ax bx c =++在区间[,]p q 上连续，可导，则利用拉格朗日中值定理有，

'()()()()y q y p y q p ξ-=-，即22()(2)()aq bq c ap bp c a b q p ξ++-++=+-，解得

2

p q ξ+=

，即2

y a x b x c =++在区间[,]p q 上应用拉格朗日中值定理时所得到点ξ位于区间的中点。

89、（06分）设1

1,1,()a b f x x

-=->=

（1）求证：()f x 在[,]a b 上不满足拉格朗日中值定理的条件 （2

）若1b >

，求证存在(,)a b ξ∈，使'()()()()f b f a f b a ξ-=-

答案：证明：（1）因为()f x 在0x =没定义，从而在[,]a b 上不满足拉格朗日中值定理的条件。

（2）2'

2

1

()10

x x f x x x -> =

< ，解方程'

()()()()f b f a f x b a -=-，

又1b >

，

1a =-，即2111(1)b b x -=±+，解

得x =，故存

在(1,)b ξ=-，使得'()()()()f b f a f b a ξ-=-

90、（06分）设函数()f x 在[1,1]-上可导，且(0)0f =，'()f x M <，试证明在[1,1]

-