【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析

几何 9.9 圆锥曲线的综合问题理

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c ＝0 (或ay2＋by＋c＝0).

(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有

①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；

②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；

③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.

(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，

①若E为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB

－x1|＝1＋1

k2

|y2－y1|.

【知识拓展】

过一点的直线与圆锥曲线的位置关系

(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；

过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；

过椭圆内一点的直线与椭圆相交.

(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；

过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；

过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.

(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；

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