复变函数与积分变换习题 班级 姓名 学号 

19 Laplace变换的概念 

1、用 Laplace变换的定义求下列函数 f (t ) 的 Laplace变换： （1） f (t  ) = t 2   

【解】 根据 Laplace变换的定义，有 

- st 

F ( s ) =L [ f ( t )] = ò t 2 e d t = 

0 +¥

2 +¥ - st 

t e d t ò 0 s 

= 

2 +¥ - st 2 

e d t = , (Re( s ) > 0 ) . 0 s 2 ò s 3 

……………………………………………………………………………………………………………

（2） f (t  ) = cos 2 t   

【解】 根据 Laplace变换的定义，有 

F ( s ) =L [ f ( t )] = ò

+¥

- st 

cos 2 t e d t 

+ ¥ 0 

1 

(- s cos 2 t + 2 sin 2 t ) e - st 

2 

s + 4 s = 2 , (Re( s ) > 0 ) . s + 4 = 

（3） f ( t ) = ch 5 t = (e + e )   【解】 根据 Laplace变换的定义，有

……………………………………………………………………………………………………………

1 

2 

5t  - 5 t 

F ( s ) = L [ f ( t )] = ò

0 

+¥

1 +¥ 5 t - 5 t - st 

ch5 t e d t = ò ( e + e ) e d t 

2 0 

- st

+¥

1 æ 1 - ( s - 5 ) t 1 - ( s + 5 ) t = e e 2 è s - 5 s + 5 1 æ 1 1 ö = s ) > 5 ) . ÷ , (Re( 2 è s - 5 s + 5 ø

0 

…………………………………………………………………………………………………………… （4） f (t  ) = u ( t - 1 ) e t . 

【解】 根据 Laplace变换的定义，有 

F ( s ) = L [ f ( t )] = ò

+¥ 1 

+¥

t - st 

u ( t - 1 ) e e d t 

- ( s - 1 ) t 

= ò e d t = 

1 1 - s 

e , (Re( s ) > 1 ) . s - 1 

…………………………………………………………………………………………………………… 2、求下列函数 f (t ) 的拉氏变换：

ì 2 , 0 £ t < 3 

ï

（1） f (t  ) = í - 1 , 3 £ t < 4 ；

ï 0 , t ³ 4 î

【解】 根据 Laplace变换的定义，有