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利用相关点法巧解对称问题

对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。笔者认为，图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。

一. 函数中的对称问题

例1 （2001年高考）设y f x =()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。证明y f x =()是周期函数。

证明：设（x ，y ）为y f x =()图象上任意一点，则其关于x

=1的对称点可求得：(,)2-xy ，于是根据函数关系有：yfx f x ==-()()2，又因为y f x =()是定义在R 上的偶函数，故有：f x f x ()()=-，因此结合上式有：f x f x f x ()()()=-=-2，故由f x f x ()()-=-+2知：y f x =()是周期函数，T

=2。

例2 （1997年高考文）设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f x =-()

1与f f x =-()

1的图象关于（ ） A. 直线y =0对称 B. 直线x =0

对称 C. 直线y =1对称 D. 直线x =1

对称 解：可设（x 1，y ）为y f x =-()1上任意一点，则有y f x =-()1

1； 若（x 2，y ）为y f x =-()1上一点，也有y f x =-()12

，一般地，由 f x f x ()()1211-=-可知：x x 1211-=-，所以x x 122

1+=，即（x 1，y ）与（x 2，y ）关于直线x =1对称，故选（D ）。

评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通之处，均可抓住对称点（即相关点）加以讨论。