高一数学家教07等差数列
自己家教时用的
等差数列 2010-5-20
1.已知函数f(x)=1
x 42 (x<－2).
(1)求f(x)的反函数f-－1(x);
(2)设a1=1,1
an 1 =－f－-1(an)(n∈N*),求an;
(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn<m成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 25
1
x2 4解：(1)设y=,∵x<－2,∴x=－4
1 (x>0) 2y1, y2即y=f－-1(x)=－4
1
an 11an(2)∵ 4 , 21an 12 1an2 4，
∴{1
an2}是公差为4的等差数列，
1
an2∵a1=1, =1a12+4(n－1)=4n－3,∵an>0,∴an=14n 3.
1m25,由bn<,得m>, 4n 1254n 1
2525设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数， 4n 14n 1(3)bn=Sn+1－Sn=an+12=
∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn<m成立. 25
2. {an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*)
(1)求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；
(2)若方程不同的根依次为x1,x2,…,xn,…,求证：数列111,, ,为等差数x1 1x2 1xn 1列.
证明：(1）∵{an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可变为(akx+ak+2)(x+1)=0,
∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.
(2）原方程不同的根为xk= ak 2a 2d2d k 1 akakak
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