高等数学公式大全

一. 函数的概念

1．用变上、下限积分表示的函数

（1）y= （2）y=连续， 则

公式1．lim

sinx

=1

x→0x

n

u

∫

x

f(t)dt，其中f(t)连续，则

x

1

2

dy

=f(x) dx

∫ ()f(t)dt，其中 (x)， (x)可导，f(t)

1

2(x)

1 1

公式2．lim 1+ =e；lim 1+ =e；

n→∞u→∞

n u

lim(1+v)=e

v→0

1v

dy

′(x) f[ 1(x)] 1′(x) =f[ 2(x)] 2

dx

2．两个无穷小的比较

4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）

f(x) 设limf(x)=0，limg(x)=0，且lim=l gx （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以

x2xn

+Λ++0xn 当x→0时，e=1+x+

n!2!

x

()(

f(x)=0[g(x)]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷

小。

（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以

x3x5x2n+1n

sinx=x ++Λ+( 1)+0x2n+1

2n+1!3!5!

)

2n

x2x4nx

cosx=1 + Λ+( 1)+0x2n

2n!2!4!

()

3．常见的等价无穷小

百

度

当x→0时

sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x

文

f(x)~g(x)

库

n

x2x3n+1x+ Λ+( 1)+0xn ln(1+x)=x

n23

()(

2n+1

x3x5n+1x

arctanx=x + Λ+( 1)+0x2n+1

352n+1

)

(1+x) α=1+αx+α(α 1)x2+Λ+α(α 1)Λ[α (n 1)]xn+0(xn)

2!

n!

1 cosx~

12

x，ex 1~x，ln(1+x)~x，2

6．洛必达法则 法则1．（

(1+x) α

1~αx

型）设（1）limf(x)=0，limg(x)=0 0

二．求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则

准则1．单调有界数列极限一定存在

（1）若xn+1≤xn（n为正整数）又xn≥m（n为正整数），则limxn=A存在，且A≥m

n→∞

（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在

f′(x) （3）lim=A（或∞）

g′x 则lim

f(x)=A（或∞） gxf′(x)不存在且不是无穷大量情形，则g′x （2）若xn+1≥xn（n为正整数）又xn≤M（n为正整数），则limxn=A存在，且A≤M

n→∞

（注：如果lim

准则2．（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x) 若limg(x)=A，limh(x)=A，则limf(x)=A 3．两个重要公式

不能得出lim

f(x)不存在且不是无穷大量情形）

gx 法则2．（

∞

型）设（1）limf(x)=∞，limg(x)=∞ ∞

（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在