题：若从某母体中抽取容量为13的子样：-2.1,

3.2,0,-0.1,1.2,-4,2.22,2.01,-0.1,3.21,-2.1,0。试写出这个子样的顺序统计量、字样中位数和极差。如果再抽取一个样品为2.7构成一个容量为14的子样，求子样中位数。

解：（1）子样值由小到大的排列为：-4,-2,1,-2,1,-0.1,-0.1,0,0,1.2,1.2,2.01,2.22,3.2,3.21

me=x,n=13

(n+1

2

)

∴me=x(7)=0

R=max(xi) min(xi)=

3.21 ( 4)=7.21(1≤i≤13)

(2)添加一个样品2.7,则子样值从小到大排列为：

-4,-2,1,-2,1,-0.1,-0.1,0,0,1.2,1.2,2.01,2.22,2.7,3.2,3.21则：me

=x(n

=x(8)=1.2

(n=14)

2

1)题：设X1，X2，…，Xn是参数为λ的泊松分布

的母体的一个子样，是子样平均数，试求E和D。

解：根据柏松分布可知：

Ex=λ,Dx=λ，由P18定理1知：

2

Ex=µ,Dx=σ2

则：E=µ,D=

σ

n

则：E=λ,D=

λ

n

题：设X1，X2，…，Xn是区间（-1，1）上的均

匀分布的母体的一个子样，试求子样平均数的均值和方差。解：根据均匀分布可知：

Ex=a+b2Dx=112(b a)2

a= 1,b=1则：EX=0,DX=

13

由P18定理1知：

Ex=µ,Dx=σ2

则： EX=0,DX=

13

E=µ,D=

σ2n

则：Ex=0,Dx=

1

3n

题：设母体X具有正态分布N（0，1），从此

母体中取一容量为6的子样（X1，X2，X3，X4，X2

2

5，X6）。又设Y=（X1+X2+X3）+（X4+X5+X6）。试决定常数C，使得随机变量CY服从χ2

分布。

∵母体X具有正态分布N（0，1），∴X1+X2+X3~N(0,3)

X4+X5+X6~N(0,3)

∴X1+X2+X3~N(0,1)

X4+X5+X6

~N(0,1)∴

(X21+X2+X3)(X4+X5+X6)2

3+

3=13[(XX2)2]=1

1+2+X3)+(X4+X5+X63

Y~χ2(2)∴C=

13题：已知X~t(n),求证：X2~F（1，0）。

证：

∵根据t分布定义可知：令：　x=

且：Y～N（0,1），

2

n)则：x2

=

Y2

Z～x(zn

∵Y～N（0,1） 则：Y

2

～χ2(1)

χ2(1)x2=

χ2(1)χ(n)=1χ(n)～F(1,n)n

n

∴得证题：设X1，X2，…Xn，Xn+1，…Xn+m，是分布为

N(0,σ2)的正态母体容量为n+m的子样，

试求下列统计量的概率分布

n

（1）

Xi

Y1=

n

X2

（2）

m∑

i

Yi=12=

n+m

n∑X2

i

i=n+1

(1)由于Xi～N(0,σ2)n

n

i

故∑X2

∑X

i～N(0,nσ)(0,1)

i=1

～NX2n+m

2iσ～N(0,1) Xi2

Xiσ～χ(1) i∑2～χ(m)=n+1σ

n

n

X

i

∑YXi

1t(m)

(2)由于Xi～N(0,σ2)

X2n

i～N(0,1) Xiχ2

(1) ∑X2i2σσ2～1σ

2～χ(n)i=n+m

X2

i～χ2i∑2

(m)=n+1σ

n

m2

n

Y∑XX2

iii=1∑i2/n=1σ2==n+m～F(n,m)

n∑X2

Xi=n+1i∑i2/mi=n+1σ

题：设X～χ

2

(n)，试证：当很大时，对c>0

有：P{X≤c}≈Φ其中Φ(x)是正态分布N（0，1）的分布函数（不要证明，但要记住结论。）

题：设母体X具有均匀分布，其密度为

f(x,θ)= 1

,0≤xi≤θ，其中未知 θ

参数

i 0,其他

θ>0，试求θ的极大似然估计。

解：子样值为（x1，x2，…，xn），而 f(x,θ)= 1

θ

,0≤xi≤θ

i 0,其他

似然函数

1

L= θn

,0≤mini≤i≤nxi≤maxi≤i≤nxi≤θ

0,其他选取θ的值使L达到最大值，只要取

θ=maxxi

，改写成：θ

i≤i≤n=max或

i≤i≤n

xi

θ =maxi≤i≤n

Xi

题：从一大批产品中随机抽出100个进行检

查，其中有4个次品，试以95%概率估计整批产品的次品率。

解：记次品为“1”，正品为“0”，次品率为p，母体分布是二点分布B(1,p)。根据题意n=100,m=4;由

1 α=0.95得u

α

2

=1.96得

置信下

限

mn

uα=0.04 1.96×1

10

×=0.002

置信上限

mn

+uα=0.04+1.96×1

10

×=0.078

故置信区间是（0.002，0.078）

题：设母体X的分布密度为

f(x)=

θxθ 1,0<x<1，其中θ

>0。

0,其他求（1）求θ的最大似然估计量；（2）用矩法

求θ的估计量。解：（1）

1）似然函数