2　Bang-Bang控制原理与参数优化方法

2.1　Bang-Bang控制原理

[1]

3n(x3(t3),t)

ψk(tf)=-i,k=1,2,…,n-1+∑

i=1i=15xk

3

q

设有如下仿射系统的状态方程:

x =f(x)+B(x)u,　x(t0)=x0

(1)

33333333

fi(x(tf),tf)ψi(tf)+∑|∑bij(x(tf),tf)ψi(tf)|=∑

j=1

i=1

i=1

rnq

μi

其中

T

f(x,t)=[f1(x),f2(x),…fn(x)]

3

(x3(t3),t)333

g(x(tf),tf)=0,

tf

本文以初始状态的共轭变量ψk(0),(k=1,2,…,n)和时间tf作为待优化的参数,通过参数优化方法对其进行优化使得在[0,tf]上采用(5)(6)(7)式进行积分使得终端状态满

(2)

B(x)=(bij(x)),i=1,2,…,n;j=1,2,…,r;

控制约束

u∈Ur

足

333

g(x(tf),tf)=0。

其中

T

Ur={u|u=(u1,u2,…,ur)|ui|≤1,i=1,2,…,r}

2.2　参数优化方法

[6]

近年来,已经有许多计算参数优化问题的数值计算方法。本文采用一种混合的遗传算法解决上述的时间最优控

(3)

目标集

p

S>{(x(tf),tf)|g(x(tf),tf)=0,g∈R}

制问题。。遗传算,而单纯型法可以增强,:

性能指标

f

J[u( )]=∫t01dt

t

(4)

定理(Bang-Bang原理):

定理1:

1)fi(x,t),bij(x,gkt)(i,…,n);j=1,2,…,r;k=1,2,…,q)。

　REPEAT

(fmin,Vmin):=群体中的最优个体(遗传繁殖阶段)

iiijij

(i=1,2,…,n;j=1,2)fi(x,t),bij(x,t),,,,

xtxt

2,…,r)都是有界的。

选择交叉变异

(增强阶段)

记u3(t)是快速控制,x3(t)是相应的轨迹,ψ(t)是共轭变量,t3f是最优终端时刻。如果快速控制问题(1)～(4)是正则的,则快速控制u(t)为:

u1

u(t)=

3

3

i=1n

　　V0:=群体中较好的n+1个个体

REPEAT

3

　(几何移动)

反射扩展缩小缩边

　UNTIL终止条件

　REPLACEMENT(代替n+1个最劣个体)

(5)

∑bi1(x3(t),t)ψi(t)∑bi2(x3(t),t)ψi(t)

n

u2

…

ur

3

=Si=1

　　　…

i=1

∑bir(x3(t),t)ψi(tn

>Sign[BT(x3(t),t)ψ(t)],t∈[t0,t3f]而x(t),ψ(t),μ和tf满足如下方程:

(t)=fk(x(t),t)+x k

j=1

UNTIL终止条件

33

该方法的主要模块有:初始化参数,产生初始群体,产生新个体,对较好的个体进行优化,输出最优解。

遗传繁殖:该过程以分布在整个空间的若干个个体作为遗传繁殖的初始群体,然后通过三种遗传操作(选择、交叉和变异)得到新的个体。一旦新个体通过选择、交叉和变异产生,就对其目标函数的值进行计算,然后进行局部优化,循环执行这一系列过程。当满足下列条件之一时终止程序:

1)达到最大的代数MaxGen;

2)个体之间的差异即每个个体Indi到最优个体BestPoint的距离的和的平均数小于一个事先给定的小量

33

∑bkj(x3(t),t)Sign{∑bij(x3(t),t)ψi(t)}

i=1

rn

(6)

xk(t0)=xkt0

(x3(t),t)

ψk(t)=-ψi(t)-i=15xk

n

(x3(t),t)

i(t)}∑{Sign[∑bij(x(t),t)ψi(t)]j=1i=1i=1xk

r

n

3

n

(7)

—164—