初中数学竞赛专题选讲比较大小
初中数学竞赛专题选讲
比较大小
一、内容提要
1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用
求差法。根据不等式的性质：
当a－b＞0时，a＞b； 当a－b＝0时，a=b； 当a－b＜0时a＜b。
2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的
个数决定其符号。
3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到
它。即若a是实数，则a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如
(a－b)2≥0， a2+1＞0， a2+a+1=(a+123)+＞0 24
－a2≤0， －（a2+a+2）＜0 当a≠b时，－（a－b）2＜0
二、例题
例1 试比较a3与a的大小
解：a3－a=a(a+1)(a－1)
a3－a=0,即a3=a
以－1，0，1三个零点把全体
实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：
当a＜－1时，a+1＜0,a＜0,a－1＜0（3个负因数）∴a3－a＜0 即a3＜a 当－1＜a＜0时 a＜0,a－1＜0（2个负因数） ∴a3－a＞0 即a3＞a 当0＜a＜1时， a－1＜0（1个负因数） ∴a3－a＜0 即a3＜a 当a＞1时，没有负因数， ∴a3－a＞0 即a3＞a 综上所述当a=0,－1，1时， a3=a
当a＜－1或0＜a＜1时，a3＜a
当－1＜a＜0或a＞1时，a3＞a。 （试总结符号规律）
例2 什么数比它的倒数大？
解：设这个数为x，则当并且只当x －1＞0时，x 比它的倒数大， x
1x2 1(x 1)(x 1) x －＝ xxx
以三个零点－1，0，1把实数分为4个区间，由例1可知
当x＞1或－1＜x＜0时，x比它的倒数大。
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